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1変数

１変数の置換積分

\( x=g(t) \) のとき、

　　　　\(\displaystyle\int_a^b f(x)dx=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))\dfrac{dx}{dt}dt\)

ただし、 \(t:\alpha\to \beta\)　と単調に変化するとき、 \(x:a\to b\)　と単調に変化するものとする。

この条件は、\(x\to t \)という変数変換である。

（被積分関数が、逆変換の微分をかけたものになることに注意）

１変数の変数変換

関数 h は微分可能な単調関数とする。

　　　　　\(X\sim f\left( x\right) \) 　　　　\(Y=h\left( X\right) \)　(確率密度関数 ) であるとき、Yの確率密度関数は、

　　　　　\(Y\sim g\left( y\right) =f\left( h^{-1}\left( y\right) \right) \times \left| \left( h^{-1}\right) '\left( y\right) \right| \)

　　　　　（逆変換の微分をかけたものになることに注意）

(∵)

hが単調増加のとき、

　　　　　\(\displaystyle P\left( Y\leq y\right) =P\left( h\left( X\right) \leq y\right)

=P\left( X\leq h^{-1}\left( y\right) \right)

=\int ^{h^{-1}\left( y\right) }_{-\infty}f\left( x\right) dx\)

　　　　　微分すると、 　　　　\(g\left( y\right) =f\left( h^{-1}\left( y\right) \right) \times \left( h^{-1}\right) '\left( y\right)\)

　　　　　別の書き方として、 \(g\left( y\right) =f\left( h^{-1}\left( y\right) \right) \times \dfrac{1}{h'(x)}\)　（ワークはこの公式）

逆関数の微分より、 \(\dfrac{dx}{dy}=\left. 1 \right/ \dfrac{dy}{dx}\)

単調減少のときは、

　　　　　\(\displaystyle P\left( Y\leq y\right) =P\left( h\left( X\right) \leq y\right)

=P\left( X\geq h^{-1}\left( y\right) \right)

=1-\int ^{h^{-1}\left( y\right) }_{-\infty}f\left( x\right) dx\)

　　　　　微分すると、 \(g\left( y\right) =-f\left( h^{-1}\left( y\right) \right) \times \left( h^{-1}\right) '\left( y\right)\)

まとめると、\(g\left( y\right) =f\left( h^{-1}\left( y\right) \right) \times \left| \left( h^{-1}\right) '\left( y\right) \right| \)

　

平方変換

　　　　　 \(X\sim f\left( x\right) \) (確率密度関数 )、 \(Y=X^2\) であるとき、

　　　　　　　　　　\(Y\sim g\left( y\right) =\dfrac{1}{\sqrt{y}}\ f\left( \sqrt{y} \right)\)

\(Y=X^2\) は単調性がないので、さらに条件を付け加える。

即ち、 \(f(x)\) はy軸について対称であるとする。

このとき、 \(\displaystyle P\left( X^{2}\leq y\right) =P\left( -\sqrt{y}\leq x\leq \sqrt{y}\right) =2\int ^{\sqrt{y}}_{0}f\left( x\right) dx\)

yで微分すると、

　　　　　\(g\left( y\right) =\dfrac{d}{dy}P\left( X^{2}\leq y\right) =\dfrac{1}{\sqrt{y}}f\left( \sqrt{y}\right) \)　　を得る。

［参考］

\(f(x)\) にy軸についての対称性がない場合には、

　　　　　\(g\left( y\right) =\dfrac{d}{dy}P\left( X^{2}\leq y\right) =\dfrac{1}{2\sqrt{y}}\left[f\left( \sqrt{y}\right) +f\left( -\sqrt{y}\right)\right]\)　　 となる。

　

２変数

重積分の置換積分

　　　　　\(x=x(u,v)\)　、 \(y=y(u,v)\) によって

変数： \((x,y)\to(u,v)\)　　　積分領域： \(D\to D'\)　　に対応するとする。

このとき、

　　　　　\(\begin{align*}
\int\!\!\!\int_{\text{D}}f(x,y)\,dxdy
=
\int\!\!\!\int_{\text{D}'}f(x(u,v),y(u,v))\,|J|\,dudv
\end{align*}\)

Jはヤコビ行列で、\(J=
\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\
\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{pmatrix}\)　　　 |J|はヤコビアンで、\(|J|=
\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\
\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}\)

（逆変換の微分であるヤコビ行列の行列式をかけたものになる）

２変数の変数変換

　　　　　\((X,Y)\sim f\left( x,y\right) \) (確率密度関数 )　　\((x,y)\to(u,v)\) であるとき、

\((U,V)\) の確率密度関数は、

　　　　　\((U,V)\sim g\left( u,v\right) =f\left( x(u,v),y(u,v) \right) \times |J| \)

（逆変換の微分であるヤコビ行列の行列式をかけたものになる）