学習のまとめ1_解説
1. 分散と標準偏差
平均\(m\)、分散 \(V\)を計算せよ.
(1) x=1,-1.
\(m=\dfrac{1+(-1)}{2}=0\) \(V=\dfrac{(1-0)^2+(-1-0)^2}{2}=1\)
(2) x=3,7.
\(m=\dfrac{3+7}{2}=5\) \(V=\dfrac{(3-5)^2+(7-5)^2}{2}=4\)
(3) x=1,3,5.
\(m=\dfrac{1+3+5}{3}=3\).
\(V=\dfrac{(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2}{3}=\dfrac{8}{3}\)
2. 表による分散計算.
表は次のようになる.
| 階級値 | 度数 | 階級値・度数 | 偏差 | 偏差平方・度数 |
|---|---|---|---|---|
| 30 | 5 | 150 | -20 | 2000 |
| 40 | 9 | 360 | -10 | 900 |
| 50 | 12 | 600 | 0 | 0 |
| 60 | 9 | 540 | 10 | 900 |
| 70 | 5 | 350 | 20 | 2000 |
| Total | 40 | 2000 | 5800 |
平均 \(m=\dfrac{2000}{40}=50\) 分散 \(V=\dfrac{5800}{40}=145\)
3. 中央値、四分位数.
ここは、用語を知っていれば計算なしでできるので、よく覚えてきてください。
## [1] 1 2 2 4 4 5 5 5 6 6 7昇順に並べたデータの中央にあるのは太文字の５です。
1 2 2 4 4 5 5 5 6 6 7.
太文字の５を境界としてデータは、左半分と右半分に分かれます。左半分の中央にあるのは太文字の２.
1 2 2 4 4.
右半分の中央にあるのは太文字の6.
5 5 6 6 7.
結局、データを小さい順に並べて４等分したことになります。
四分位数
- 下から1/4のところのデータを第1四分位数（今の場合 2）、
- 2/4のところのデータを第2四分位数（これは中央値と同じで 5）、
- 3/4のところのデータを第3四分位数（今の場合 6）といいます。
- そして、第1四分位数、第2四分位数、第3四分位数をまとめて 四分位数といいます。
［注意］個数が偶数で中央の値がない場合は、境目の両隣を平均した値とします.
四分位範囲.
（第3四分位数－第1四分位数）の値のことを四分位範囲といい、中心付近のデータがどのくらい散らばっているかの目安として用います。
四分位偏差.
（第3四分位数－第1四分位数）÷2の値のことで、四分位範囲の半分。四分位範囲と同じく、中心付近のデータがどのくらい散らばっているかの目安として用います。
第１四分位数 \(Q_1=\)（ 2 ） 第２四分位数 \(Q_2=\)（ 5 ） 第３四分位数 \(Q_3=\)（ 6 ）
四分位範囲＝（ 6-2=4 ） 四分位偏差＝（ 2 ）.
4. 混合分布.
(1) Aの平均と分散を計算しなさい。
## [1] 1 3 3 5
\(m=\dfrac{1+3+3+5}{4}=3\)
\(V=\dfrac{(1-3)^2+(3-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2}{4}=2\)
(2) Bの平均と分散を計算しなさい。
## [1] 3 3 6 6 6 6 9 9\(m=\dfrac{3+3+6+6+6+6+9+9}{8}=6\)
\(V=\dfrac{(-3)^2+(-3)^2+0^2+0^2+0^2+0^2+3^2+3^2}{8}=\dfrac{9}{2}\)
(3) A,Bを合わせたUの平均と分散を計算しなさい。
## [1] 1 3 3 5 3 3 6 6 6 6 9 9表を用いて計算するとよいです.
| Xの値 | 度数 | 階級値・度数 | 偏差 | 偏差平方・度数 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | -4 | 16 |
| 3 | 4 | 12 | -2 | 16 |
| 5 | 1 | 5 | 0 | 0 |
| 6 | 4 | 24 | 1 | 4 |
| 9 | 2 | 18 | 4 | 32 |
| Total | 12 | 60 | 68 |
平均 \(m=\dfrac{60}{12}=5\) 分散 \(V=\dfrac{68}{12}=\dfrac{17}{3}\)
研究.
上の例で、次の公式が成立していることを確かめます。
\(\mu=p_A~\mu_A+p_B~\mu_B\)
\(\sigma^2=p_A~\sigma_A^2+p_B~\sigma_B^2+p_Ap_B(\mu_A-\mu_B)^2\)
２群 \(U_A, U_B\) について、
\(U_A\) : \(n_A=4\)個 平均 \(\mu_A=3\) 標準偏差 \(\sigma_A=\sqrt{2}\)
\(U_B\) : \(n_B=8\)個 平均 \(\mu_B=6\) 標準偏差 \(\sigma_B=\sqrt{\dfrac{9}{2}}\)
\(U=U_A\cup U_B\) ：\(n=12\)個 平均 \(\mu\) 標準偏差 \(\sigma\) について、
混合率 \(p_A=\dfrac{n_A}{n}=\dfrac{4}{12}~,~~p_B=\dfrac{n_B}{n}=\dfrac{8}{12}~~~\)とすると、
\(p_A~\mu_A+p_B~\mu_B=\dfrac{4}{12}~3+\dfrac{8}{12}~6=\dfrac{60}{12}=5\)
\(p_A~\sigma_A^2+p_B~\sigma_B^2+p_Ap_B(\mu_A-\mu_B)^2=\dfrac{4}{12}\cdot 2+\dfrac{8}{12}\cdot \dfrac{9}{2}+\dfrac{4}{12}\cdot \dfrac{8}{12}\cdot 3^2=\dfrac{17}{3}\)
確かに成り立っています。ヒストグラムを表示すると、
\(\mu_A,~\mu_B\)
の差が大きいと、混合分布の分散は大きくなります。
つまり、２群 A,Bが離れていれば、混合分布の分散は大きくなります。