1 母分散の検定

1.1 統計検定量.

検定について整理しておきます。

母平均の検定.
得られたサンプルの標本平均と母平均の差を標準偏差という尺度で測り、その差がどのくらいの確率で起きるのかをP値として求めることで、差の有意性を判断するものです。つまり、標本平均の横方向のずれに注目していたわけです。

母分散の検定.
得られたデータの横の広がりが、母分散と比べて差があるかを検定します。平均値の検定と異なり、差の尺度が存在しないので、標本分散と母分散の比の確率分布を考え、その比がどのくらいの確率で起きるのかを考えます。結果として、母分散を尺度としていることになります。

このように、統計検定量には.

  • 差を用いるもの（期待値は０）.
  • 比を用いるもの（期待値は１）.

2つのタイプの統計量があります。
母平均の検定は「差を用いるタイプ」であり、尺度として標準偏差が必要でした。母分散が未知の場合の対処法としてt分布が考えられた訳です。
母分散の検定は「比を用いるタイプ」であり、統計量の分布に対称性はありません。尺度を必要としないので汎用性があると考えられますが、検出力がどうかは調べてみる必要があります。

ともあれ、
Rなどの統計関数が利用できる状況では、計算に標準正規分布表を用いる必要はなく、2つのタイプのどちらでも利用可能と考えて良いでしょう。

試みに、母平均の検定を「比を用いるタイプ」で行うと次のようになります。

1.2 平均比の検定.

母平均の検定についても、母分散と同じ方法が使えないか？
母平均を尺度とし、標本平均との比を考えることで検定ができないか？
確かめてみます。

\(X\sim(\mu,\sigma^2)\)のとき、標本数が大きければ、標本平均は正規分布に近似されます。
　　　\(\bar{X}\sim N\left(\mu,\dfrac 　　　{\sigma^2}{n}\right)\).
母平均との比を考えると、
　　　　\(\dfrac{\bar{X}}{\mu}\sim N\left(1,\dfrac 　　　{\sigma^2}{n\mu^2}\right)\).
得られた標本平均を、この分布によって検定する。
ここでは、「平均比の検定（自作言語）」と呼びます。
この統計量をZ変換すると、
　　　\(Z=\dfrac{\frac{\bar{X}}{\mu}-1}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}\mu}}=\dfrac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\).
Z値が同じなので、P値も同じになり本質的な違いはありません。

具体的に試してみます。

1.3 比を用いた平均の検定.

平均５、標準偏差１の母集団から大きさ25の標本をとり、標本平均と母平均の比を考えると、それは期待値１の正規分布になります。

N=1000
data=c()

for (i in 1:N) {
  A <- rnorm(25,5,1)
  a <- mean(A)/5
  data <- c(data,a)
}
hist(data,prob=T)
curve(dnorm(x,1,0.2/5),add=T)

これは正規乱数ですから、正規分布の理論曲線とほぼ一致しています。
サンプル数が大きければ、中心極限定理から正規分布に近似されるので、理論的には検定可能と思います。
少数標本の場合でも、母集団の分布を既知とする帰無仮説のもとでは検定可能でしょう。

市原先生の「バイオサイエンスの統計学」p23の例では、
母集団が\(N(140,5^2)\)であるという帰無仮説のもとで、25個の標本平均 \(\bar{X}=137\)が有意かどうか両側検定します。

\(\sigma=5,~~n=25\) なので、
　　　\(\dfrac{\bar{X}}{\mu}\sim N\left(1,\dfrac{1}{\mu^2}\right)\)　　　平均比は、　\(\dfrac{\bar{X}}{140}\sim N\left(1,\dfrac{1}{140^2}\right)\)

\(\bar{X}=137\) の平均比の両側P値を計算します。

pnorm(137/140,1,1/140)*2
## [1] 0.002699796

P値は、標準化を用いた従来の方法で求めた値と一致しており、検定結果も同じになります。

さて、本題の母分散の検定に話を戻します。

1.4 分散の分布.

標本分散を確率変数と見ると、その自由度のカイ二乗分布と相似形です。２乗計算のため変動が大きく、かなり大きい値を取ることもあります。
つまり、有意かどうかの判断が難しいと考えられます。

N=1000
V=c()
for (i in 1:N) {
  x <- rnorm(20,0,2)
  V <-c(V,var(x))
}
hist(V,prob=T)

分散の分布は、カイ二乗分布と同じ形になります。

hist(V/2^2,prob=T)

通常は自由度を乗じたものを、カイ二乗分布として扱います。

hist(24*V/2^2,prob=T)
curve(dchisq(x, 24),add=T)

理論分布の曲線とほぼ一致しています。

1.5 例題12(1).

サンプルの分散を求め、母分散と比較することは容易ですが、どのくらいの確率で起こるかP値を求めることが重要です。
つまり、カイ二乗分布と繋げて考える必要があります。

A <- c(4.49,4.51,4.52,4.50,4.48,4.45,4.51,4.46,4.50)
var(A)*8
## [1] 0.004488889
#カイ二乗値
var(A)*8/0.05^2
## [1] 1.795556
#P値
pchisq(var(A)*8/0.05^2, 8)
## [1] 0.01334923

有意水準5%で有意となります。.

2 比率の検定.

［二項分布］.
　\(X_1,X_2,\cdots,X_n\:;\:i.i.d. \sim Ber(p)\)　独立にベルヌーイ分布に従うとする。
　　　\(E(X_i)=p,~~~V(X_i)=p(1-p)\).

　　　\(\overline{X}=\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}\rightarrow p\)　　 （確率収束） ：分子は二項分布に従う.

確率収束すれば分布収束するので、次のように書ける。
　　　\(\overline{X}\rightarrow N\left(p,\dfrac{p(1-p)}{n}\right)\)　（分布収束） ：正規分布に収束する

平均比の検定では、
　　　\(\dfrac{\bar{X}}{p}\rightarrow N\left(1,\dfrac{1-p}{np}\right)\)

2.1 例題12(2).

帰無仮説は、母比率 \(p=0.09\) です。
400世帯を調査するときの標本比率は、 　\(\bar{X}\sim N\left(0.09,\dfrac{0.09(1-0.09)}{400}\right)\) に従います。.

400世帯の視聴率調査で43世帯が視聴していたので、 \(\bar{X}=\dfrac{43}{400}\)　が有意かどうか考えます。

平均比の検定では.
　　　\(\dfrac{\bar{X}}{0.09}\sim N\left(1,\dfrac{1-0.09}{0.09\cdot 400}\right)\)　のもとで　\(\dfrac{\bar{X}}{0.09}=\dfrac{43}{0.09\cdot 400}=1.1944\).

視聴率が上がったかどうかなので、右側検定によるP値を求めると、

1-pnorm(43/(400*0.09), mean=1, sd=sqrt((1-0.09)/(0.09*400)))
## [1] 0.110665

有意とは言えません。

正規近似によるZ検定でP値を求めると、

z <- (43/400-0.09)/sqrt(0.09*(1-0.09)/(400))
1-pnorm(z, mean=0, sd=1)
## [1] 0.110665

P値は同じになり、検定結果は同じになります。

まとめ.
現代では、Rの関数でP値を求めることができます。
そのため、標準化によらなくても分布関数から直接P値を求めることが可能になっています。

3 演習問題12.

テキストの方法以外に、平均比の検定でもやってみましょう。