固有値の意味と応用について整理する。
・行列は固有ベクトルを用いて対角化できる。
行列の表す一次変換は、固有ベクトル方向の固有値倍の拡大・縮小である。
・対称行列は直交行列によって対角化できる。
対称行列の表す二次形式は、直交行列により標準形に変形できる。
固有値と対角化
行列は固有ベクトルを用いて対角化できる。
［参考］高校数学の美しい物語 様 『行列の対角化の意味と具体的な計算方法』
https://manabitimes.jp/math/1133
簡単のため、2次元正方行列で話を進める。
行列 \(A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\) に対し、
\(A\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}\) を満たす \(\lambda\) を固有値、 \(\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}\) を固有ベクトルという。
固有値は、 \(\begin{vmatrix}
a-\lambda & b \\
c & d-\lambda
\end{vmatrix}=0\) 即ち、 \(\lambda ^{2}-\left( a+d\right) \lambda +\left(
ad-bc\right) =0\) より得られる。
２つの固有値を \(\lambda_1,\lambda_2\) 、標準化された固有ベクトルを \(\begin{pmatrix}
x_{1} \\
y_{1}
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
x_{2} \\
y_{2}
\end{pmatrix}\) とすると、
\(A\begin{pmatrix}
x_{1} & x_{2} \\
y_{1} & y_{2}
\end{pmatrix}
=\lambda _{1}\begin{pmatrix}
x_{1} & 0 \\
y_{1} & 0
\end{pmatrix}+\lambda _{2}\begin{pmatrix}
0 & x_{2} \\
0 & y_{2}
\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}
x_{1} & x_{2} \\
y_{1} & y_{2}
\end{pmatrix}^{-1}
\left[
\lambda _{1}\begin{pmatrix}
x_{1} & 0 \\
y_{1} & 0
\end{pmatrix}+\lambda _{2}\begin{pmatrix}
0 & x_{2} \\
0 & y_{2}
\end{pmatrix}\right]
=\lambda _{1}\begin{pmatrix}
1&0 \\
0&0
\end{pmatrix}+\lambda _{2}\begin{pmatrix}
0&0 \\
0&1
\end{pmatrix}\) より、
\(\begin{pmatrix}
x_{1} & x_{2} \\
y_{1} & y_{2}
\end{pmatrix}^{-1}
A\begin{pmatrix}
x_{1} & x_{2} \\
y_{1} & y_{2}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\lambda_{1} & 0 \\
0 & \lambda_{2}
\end{pmatrix}\)
標準化された固有ベクトルを列とする行列を、 \(P=\begin{pmatrix}
x_{1} &x_{2} \\
y_{1} &y_{2}
\end{pmatrix}\) とすると、
\(P^{-1}AP
=\begin{pmatrix}
\lambda_{1} & 0 \\
0 & \lambda_{2}
\end{pmatrix}\) （対角成分は固有値）
特に、Aが対称行列のときはPは直交行列となる。
［参考］高校数学の美しい物語 『対称行列の固有値と固有ベクトルの性質の証明』
https://manabitimes.jp/math/1096
対称行列の固有値と２次形式の標準化
［参考］高校数学の美しい物語 『二次形式の意味，微分，標準形など』
https://manabitimes.jp/math/1240
全ての項が２次である式を2次形式という。
2次形式は対称行列で表現できる。例えば、
\(5x^{2}-4xy+5y^{2}
=
\begin{pmatrix}
x & y
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
5 & -2 \\
-2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}\)
対称行列の対角化を利用して2次形式を標準化する。
\(A=
\begin{pmatrix}
5 & -2 \\
-2 & 5
\end{pmatrix}\) の固有値は \(\lambda=3,7\) 、固有ベクトルは \(\vec{x_{1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}\) 、\(\vec{x_{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
-1 \\
1
\end{pmatrix}\)
\(U=\begin{pmatrix}
x_1&x_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}\) は直交行列で、 \(B=
U^{-1}AU=
\begin{pmatrix}
3&0\\
0&7
\end{pmatrix}
\)
簡単のため、\(x=
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}\) とおいて、
\(5x^{2}-4xy+5y^{2}
=
\begin{pmatrix}
x & y
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
5 & -2 \\
-2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=x'Ax\) と略記することにすれば、
\(5x^{2}-4xy+5y^{2}
=x'Ax
=x'U(U^{-1}AU )U^{-1}x
=x'UBU^{-1}x\)
\(u=\begin{pmatrix}
u \\
v
\end{pmatrix}
=U^{-1}x\) とおくと、
\(5x^{2}-4xy+5y^{2}
=u'Bu\)
\(u'Bu=
\begin{pmatrix}
u & v
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
0 & 7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
u \\
v
\end{pmatrix}
=3u^2+7v^2\)
\(5x^{2}-4xy+5y^{2}
=3u^2+7v^2\) （標準形）
\(\begin{pmatrix}
u \\
v
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}\) だから、
\(5x^{2}-4xy+5y^{2}
=3\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}y\right) ^{2}+7\left( -\dfrac{1}{\sqrt{2}}x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}y\right) ^{2}\)
平方完成され標準形となる。