2014 社会 （統計検定1級応用 過去問の解説です）
- 対数正規分布
- ローレンツ係数・ジニ係数
- 利益の最大化
- 標本抽出・事後層化推定
2014社会① 対数正規分布
対数正規分布の具体例
中央大学 浅野翔，金田佐和子 PDFを検索
高校数学の美しい物語 （対数正規分布の基礎）
https://mathtrain.jp/lognormal
［定義］
\(Y\sim N\left( \mu ,\sigma ^{2}\right) \) のとき、\(X=e^{Y}\) の従う分布を対数正規分布という。
即ち、\(\log X=Y\sim N\left( \mu ,\sigma ^{2}\right) \)
変数変換を用いて、YからXを導いてみる。
［変数変換の公式］ 0_変数変換.page 参照
置換積分
\(x=g(t)\) のとき、
\(\displaystyle\int_a^b f(x)dx=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))\dfrac{dx}{dt}dt\)
ただし、 \(t:\alpha\to \beta\) と単調に変化するとき、 \(x:a\to b\) と単調に変化するものとする。
この置換積分は、 \(x\to t\) という変数変換を意味する。
（被積分関数が、逆変換の微分をかけたものになることに注意）
この置換積分の公式は、t の確率密度関数が、 \(f(g(t))\dfrac{dx}{dt}\) であることを意味する。
今、関数 h は微分可能な単調関数とする。
\(X\sim f\left( x\right) \) (確率密度関数 ) \(Y=h\left( X\right) \) であるとき、Yの確率密度関数は、
\(\displaystyle Y\sim f\left(x\right)\left| \frac{dx}{dy} \right| \)
\(Y\sim g\left( y\right) =f\left( h^{-1}\left( y\right) \right) \times \left| \left( h^{-1}\right) '\left( y\right) \right| \)
（逆変換の微分をかけたものになることに注意）
今、\(X=e^{Y}\)、\(Y\sim f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right)^2}\)
逆関数は、\(y=\log x\) だから、
\(\displaystyle X\sim g\left( x\right) =f\left( \log x \right) \times \left| \frac{1}{x}\right| =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\log x-\mu}{\sigma}\right)^2}\)
対数正規分布 \(\displaystyle X\sim LN\left( \mu ,\sigma ^{2}\right) \) の確率密度関数は、\(\displaystyle g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\log x-\mu}{\sigma}\right)^2}\)
［解説］
(1) 変数変換を用いて、XからYを導いてみる。
対数正規分布 \(X\sim LN\left( \mu ,\sigma ^{2}\right) \) の確率密度関数は、 \(f(x)
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\log x-\mu}{\sigma}\right)^2}\)
とする。
\(Y=\log X\) と変換したとき 、確率度密度関数は、 \(f(x)→g(y) \) とどのように変わるだろうか。
逆関数は \(x=e^{y}\) より、 \(\displaystyle\frac{dx}{dy}=e^y\) \(\displaystyle\therefore \frac{dx}{dy}=x\)
確率密度関数は、
\(\begin{split}g(y)&=f(x)\frac{dx}{dy}
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\log x-\mu}{\sigma}\right)^2}x\
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right)^2}
\end{split}\)
Yは正規分布に従うことがわかる。
(2)
［基本］モーメント母関数
確率変数 X のモーメント母関数は、 \(M_X(t)=E(e^{tX})\) と定義される。
Xが正規分布に従うとき、 \(M_X(t)=e^{\mu t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2}\) で与えられる。
Xが対数正規分布に従うとき、モーメント母関数は存在しない。
「nishiru3の日記」さま 参照
https://nishiru3.hatenablog.com/entry/2018/06/23/000119
\(M_X(t)=E(e^{tX})
=\int_{0}^{\infty}e^{tx}f(x)dx
=\int_{0}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\log x-\mu}{\sigma}\right)^2}dx\)
が収束しないとのことであるが、ここでは立ち入らない。
尚、対数正規分布の性質については、「データ科学便覧」さま を参照
https://data-science.gr.jp/theory/tpd_log_normal_distribution.html
\(E(X^t)\) について、 \(X=e^Y\) によって変数変換すると、 \(dx=xdy\) だから、
\(\begin{split}
E(X^t)
&=\int_{0}^{\infty}x^t\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\log
x-\mu}{\sigma}\right)^2}dx\\
&=
\int_{0}^{\infty}e^{ty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right)^2}dy=E(e^{tY})
\end{split}\)
Yは正規分布に従うから、\(E(e^{tY})=M_Y(t)=e^{\mu t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2}\)
（あるいは、\(X^t=e^{tY}\) より、 \(E(X^t)=E(e^{tY})\) と考えてもよい）
(3) Xの最頻値、中央値、平均値を求め比較する。
結論から言うと、(最頻値)＜(中央値)＜(平均値) である。実際に求めてみる。
(4) 解説を参照
(5) 最尤推定量の不変性
「基礎から分かる統計学」さま
http://ryo1.info/statistics/statistical-mathematics-ex12/ 参照
パラメータθに対する任意の関数 \(g({\theta})\) 、 パラメータベクトルθの最尤推定量\(\widehat{\theta}\) とするとき、
\(g({\theta})\) の最尤推定量も \(g(\widehat{\theta})\) となる。
大阪大学 舟木剛 先生
http://ps.eei.eng.osaka-u.ac.jp/funaki/notes/class/h22/H22-app-system-4.pdf 参照
関西大学 浅野 晃 先生 「正規母集団における母分散の最尤推定」
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/07a/IS/IS11suppr.pdf 参照
最尤推定量は不偏分散にはならない。
正規分布 \(N(\mu,\sigma^2)\) からの標本を、 (x1, x2, . . . , xn) とするとき、
母分散の最尤推定量は、 \(\sigma^2=\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}({x_i}-\mu)^2\)
2014社会② ローレンツ曲線とジニ係数
格差を表現する手段：ローレンツ曲線はグラフで、ジニ係数は数値で表現する。
早稲田政経 西郷 浩 先生 （具体例による帰納的導入）
http://jinse.jp/archive/waseda_stat_intro_2014/stat101_04_2014.pdf
格差分布の統計的ダイナミクス 平和研 下方 拓 先生
http://www.iips.org/research/data/bp332j.pdf （理論的説明を含む）
裁判判例 (ローレンツ曲線によって１票の格差を審議)
https://www.courts.go.jp/app/files/hanrei_jp/842/089842_hanrei.pdf
京都産業大学 菅原 宏太 先生 (ローレンツ曲線の作成とジニ係数)
http://www.cc.kyoto-su.ac.jp/~sugahara/syllabus/ecdpast/data-7.html (エクセル初等的)
［解説］
一様分布ならば、ローレンツ曲線は傾き１の直線になる。
連続分布では、説明はやや難しくなるが、下方拓 先生の説明が分かりやすい。
まず確率密度関数がf(x)である確率変数Xの期待値は、なぜ
\(E\left( x\right) =\displaystyle \int xf\left( x\right) dx\) となるのかを考える。
\(f\left( x\right) \) は頻度、\(dx\) は \(\dfrac{1}{n}\) だから、 \(f\left( x\right)
dx=p\left( x\right) \) \(\therefore
E\left( x\right) =\int xf\left( x\right) dx
=\sum xp\left( x\right)
\)
離散型でも連続型でも式の意味は同じといえる。
離散型の順位 \(i\) のローレンツ曲線の値は、\(L_{i}=
\dfrac{\sum ^{i}_{j=1}y_{j}}{n\mu _{y}}=
\dfrac{\sum ^{i}_{j=1}y_{j}\cdot \dfrac{1}{n}}{\mu_{y}}\)
連続型では、順位の代わりに累積分布関数 \(p=F(y)\) の p に対し、
ローレンツ曲線の値は、
\(L(p)=
\dfrac{\sum ^{i}_{j=1}y_{j}\cdot \dfrac{1}{n}}{\mu_{y}}=
\dfrac{\int _{-\infty }^{y}yf(y)dy}{\int ^{\infty }_{-\infty }yf\left( y\right) dy}=
\dfrac{1}{\mu_{y}}\int ^{y}_{-\infty }yf\left( y\right) dy\)
\(dp=F'\left( y\right) dy\) より、 \(dp=f\left( y\right) dy\) また、 \(y=F^{-1}\left( p\right) \)
\(L\left( p\right) =\dfrac{1}{\mu_y}\int ^{y}_{-\infty }yf(y) dy=
\dfrac{1}{\mu _{y}}\int ^{p}_{0}F^{-1}(p) dp\)
ローレンツ曲線は、累積分布関数の逆関数の累積関数ともいえる。
ジニ係数は、 \(a\leq y\leq b\) とすると、
\(\displaystyle G=1-2\int _{0}^{1}L(p) dp=1-2\int _{a}^{b}L\left( F(y) \right) f(y) dy\)
離散型の場合は、
\(G=\dfrac{1}{2\mu _{y}}\times \left( \dfrac{1}{n^{2}}\sum ^{n}_{i=1}\sum ^{n}_{j=1}\left| y_{i}-y_{j}\right| \right) \) でも計算できる。
詳細は、早稲田 西郷先生の資料「ジニ係数の数理」を参照。
2014社会③ 利益の最大化
需要と仕入数を分析し、利益の最大化を図る。
［解説］
標準正規分布の確率密度関数 \(\varphi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^2}\) の性質を確認しておく。
\(\varphi '(z)=-z\varphi (z)\) \(\displaystyle \therefore\
\int z\varphi\left( z\right)dz =\int -\varphi'\left( z\right) dz=-\varphi(z) \)
\(\displaystyle \int ^{_{\infty }}_{-\infty }z\varphi\left( z\right)
dz
=[-\varphi(z)]^{\infty}_{-\infty}
=0\)
\(\displaystyle \int ^{_{\infty }}_{-\infty }z^2\varphi\left( z\right)
dz
=\int ^{_{\infty }}_{-\infty }z(-\varphi\left( z\right) )'dz
=[-z\varphi(z)]^{\infty}_{-\infty}+\int ^{_{\infty }}_{-\infty }\varphi(z)
=1\)
この性質は、(2)で効いてくる。
(1) 解答参照
(2) Xは需要数。確率密度関数は、\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot4}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-95}{4}\right)^2}\)
\(\varphi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^2}\) とする。
Xの期待値は、
\(\begin{split}
E(X)&=
\int ^{_{\infty }}_{-\infty }xf\left( x\right) dx=
\int ^{_{\infty }}_{-\infty }x\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot4}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-95}{4}\right)^2}\\
&=\frac{1}{4}
\int ^{_{\infty }}_{-\infty }x\varphi \left( \frac{x-95}{4} \right)dx
\end{split}\)
販売個数Yの期待値は、仕入れの数 \(a\) を超えて売れることはないので、
\(\begin{split}
E(Y)&=
\frac{1}{4}\int ^{_{a}}_{-\infty }x\varphi \left( \frac{x-95}{4} \right)dx+
\frac{1}{4}\int ^{_{\infty }}_{a}a\cdot \varphi \left( \frac{x-95}{4} \right)dx\\
\end{split}\)
\(\displaystyle z=\frac{x-95}{4}\) 、\(\displaystyle a*=\frac{a-95}{4}\) とおくと、\(dx=4dz\) 、\(a-95=4a*\)
\(\begin{split}
E(Y)&=
\int ^{_{a*}}_{-\infty }(4z+95)\varphi \left( z\right)dz+
\int ^{_{\infty }}_{a*}a\cdot \varphi \left( z\right)dz\\
&=
4\int ^{_{a*}}_{-\infty }z\varphi \left( z\right)dz+
95\int ^{_{a*}}_{-\infty }\varphi \left( z\right)dz+
a(1-\Phi(a*))\\
&=
4\int ^{_{a*}}_{-\infty }z\varphi \left( z\right)dz+
95\Phi(a*)+
a(1-\Phi(a*))\\
\end{split}\)
\(\displaystyle \int ^{_{a*}}_{-\infty }z\varphi \left( z\right)dz=
\int ^{_{a*}}_{-\infty }z\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^2}dz=
\left[ -\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^2}\right] _{-\infty }^{a\ast}=
\left[ -\varphi(z)\right] _{-\infty }^{a\ast}\) だから、
\(\begin{split} E(Y)
&=
4\left[ -\varphi(z)\right] _{-\infty }^{a\ast}+
95\Phi(a*)+
a\left (1-\Phi(a*)\right)\\
&=
-4\varphi(a\ast)+95\Phi(a*)+
a\left (1-\Phi(a*)\right)\\
&=
a-4\varphi(a\ast)+\Phi(a*)(95-a)\\
&=
a-4\varphi(a\ast)-4a\ast \Phi(a*)\\
&=a-4\left(a\ast \Phi(a*)+\varphi(a\ast) \right)
\end{split}\)
１日の利益は、
\(M(a)
=\left[a-4\left(a\ast \Phi(a*)+\varphi(a\ast) \right)\right]p-aq\)
aで微分して、この最大値を求めればよい。
\(\displaystyle a*=\frac{a-95}{4}\)より、\(\displaystyle (a*)'=\frac{1}{4}\) 、また
\(\varphi '\left( a^\ast\right) =-a^\ast\varphi\left( a^\ast\right) \)、\(\Phi '\left( a^\ast\right) =\varphi\left( a^\ast\right) \) に注意して微分する。
\(\begin{split}
M'(a)
&=\left[1-4\left(\frac{1}{4}\Phi(a*)+a\ast \varphi(a*)-a^\ast\varphi(a\ast) \right)\right]p-q\\
&=(1-\Phi(a*))p-q=0
\end{split}\)
\(\therefore
\Phi(a*)=1-\frac{q}{p}\) 即ち、\(a*=\Phi^{-1}\left( 1-\frac{q}{p}\right)\)
よって、\(\displaystyle a=4\Phi^{-1}\left( 1-\frac{q}{p}\right)+95\)
2014社会④ 標本抽出
［前提］
母集団\(U\) 母平均 \(\mu\) 母分散 \(\sigma^2\) （未知であることが多い）
標本 S 標本平均 \(\overline{X}\) 不偏分散 \(s^2\) 標本分散 \(\displaystyle \frac{n-1}{n} s^2\)
確率変数 \(X_1,X_2,\cdots\) が独立のとき、不偏分散も加法性を持つ。
（∵ 標本分散はnで割った分散で加法性を持ち、不偏分散＝\(\displaystyle \frac{n}{n-1}\)標本分散であるから）
x → 分散 \(\sigma^2\) (未知) → 不偏分散 \(s^2\)
［N個からn個の不復元抽出の場合］
\(X_1,X_2,\cdots\) の独立性がないので、有限母集団修正 \(\displaystyle V(\bar{X})=\frac{N-n}{N-1}\times\frac{\sigma^2}{n}\) が必要であるが、
有限母集団修正 をおこなわないという仮定があるので、
\(\overline{X}\) → 標本分散 \(\displaystyle \frac{\sigma^2}{n}\) (未知) → 不偏標本分散 \(\displaystyle \frac{s^2}{n}\) （推定） このまま修正せず用いる。
不偏推定量は一通りではないが、総合計 \(T=x_1+x_2+\cdots+x_N\) の不偏推定量の一つとして、
\(\displaystyle \widehat T=\frac{N}{n}
(x_1+x_2+\cdots+x_n)\) がある。実際、
\(\mu=E(X)=\frac{T}{N}\) 、\(E(X_i)=\mu\) 、\(V(X_i)=s^2\) より、
\(\displaystyle E(\widehat T)=\frac{N}{n}n\mu=T\) \(\displaystyle
V(\widehat T)=\frac{N^2}{n^2}ns^2
=N^2\frac{s^2}{n}\)
今、\(x_1+x_2+\cdots+x_n=4 \cdot 50+6\cdot 60=560\) 、\(s^2=360\) より、
\(\widehat T=\frac{10000}{10} \cdot 560=560000\) 標準誤差 \(N\sqrt\frac{s^2}{n}=10000\sqrt\frac{360}{10}
=60000\)
(2)(3) 解答参照
(4) \(T_{M}=\sum ^{N}_{i=1}\delta _{i}x_{i}\) 、\(t_{M}=\sum ^{n}_{i=1}\delta _{i}x_{i}\) 、\(\widehat{T}_{M}=\dfrac{N}{n}t_{M}=\dfrac{N}{n}\sum ^{n}_{i=1}\delta _{i}x_{i}\) とするとき、
\(V\left( \widehat{T}_{n}\right) =V\left( \dfrac{N}{n}t_{M}\right)=\left( \dfrac{N}{n}\right) ^{2}\sum ^{n}_{i=1}V\left( \delta _{i}x_{i}\right) \)
\(V\left( \delta _{i}x_{i}\right) =\dfrac{1}{n-1}\sum ^{n }_{i=1}\left( \delta_i x_{i}-\dfrac{1}{n}\sum ^{n}_{i=1}\delta _{i}x_{i}\right) ^{2}\) だから、
\(\begin{split}
V\left( \widehat{T}_{M}\right)
&=\left( \dfrac{N}{n}\right) ^{2}\sum ^{n}_{i=1}V\left( \delta _{i}x_{i}\right) \\
&=\left( \dfrac{N}{n}\right) ^{2}\cdot n\cdot
\dfrac{1}{n-1}\sum ^{n }_{i=1}\left( \delta_i x_{i}-\dfrac{1}{n}\sum ^{n}_{i=1}\delta _{i}x_{i}\right) ^{2}\\
&=N^2 \frac{1}{n(n-1)}\sum ^{n }_{i=1}\left( \delta_i x_{i}-\dfrac{1}{n}\sum ^{n}_{i=1}\delta _{i}x_{i}\right) ^{2}
\end{split}\)
よって、
\(\displaystyle SE\left( \widehat{T}_{M}\right)
=N \sqrt{\ \frac{1}{n(n-1)}\sum ^{n }_{i=1}\left( \delta_i x_{i}-\dfrac{1}{n}\sum ^{n}_{i=1}\delta _{i}x_{i}\right) ^{2}}
\)
今、n=10 であるので、
\(\dfrac{1}{n}\sum ^{n}_{i=1}\delta _{i}x_{i}=\dfrac{200}{10}=20\)
\(\begin{split}
\sum ^{n}_{i=1}
\left( \delta_{i}{x_{i}}-\dfrac{1}{n}\sum ^{n}_{i=1}\delta _{i}x_{i}\right) ^{2}
&=10^{2}+30^2+30^2+50^2
+20^2+20^2+20^2+20^2+20^2+20^2\\
&=100(1+9+9+25+6\cdot 4)=6800
\end{split}\)
\(\begin{split}
SE\left( \widehat{T}_{M}\right)
&=N \sqrt{\ \frac{1}{n(n-1)}\sum ^{n }_{i=1}\left( \delta_i x_{i}-\dfrac{1}{n}\sum ^{n}_{i=1}\delta _{i}x_{i}\right) ^{2}}
= 86922.69\\&=86923
\end{split}\)
\(T_{M}^{\ast}=\dfrac{N_{M}}{n_{M}}\cdot t_{M}\) を用いて、 \(n_{M}\geq 1\) のときの \(T_M\) の推定値として、
\(\displaystyle \tilde{T}
=\frac{T_{M}^{\ast}}{1-\frac{1}{2^n}}\) を考える。
を固定したときの条件付き分散は、
だから、\(\displaystyle V\left(x_{i}\right) =\dfrac{1}{n_M-1}\sum ^{n_M }_{i=1}\left(x_{i}-\dfrac{1}{n_M}\sum ^{n_M}_{i=1}x_{i}\right) ^{2}\) だから、
\(\begin{split}
V\left( \tilde{T}_{M}\right)
&=\left( \dfrac{N_M}{n_M}\right) ^{2}
\left( \dfrac{1}{1-\frac{1}{2^n}}\right) ^{2}\sum ^{n_M}_{i=1}V\left(x_{i}\right) \\
&=\left( \dfrac{N_M}{n_M}\right) ^{2}
\left( \dfrac{1}{1-\frac{1}{2^n}}\right) ^{2}
\cdot n_M\cdot
\dfrac{1}{n_M-1}\sum ^{n_M }_{i=1}\left(x_{i}-\dfrac{1}{n_M}\sum ^{n_M}_{i=1}x_{i}\right) ^{2}\\
&=N_M^2
\left( \dfrac{1}{1-\frac{1}{2^n}}\right) ^{2} \frac{1}{n_M(n_M-1)}\sum ^{n_M }_{i=1}\left(x_{i}-\dfrac{1}{n_M}\sum ^{n_M}_{i=1}x_{i}\right) ^{2}\\
\end{split}\)
\(\therefore
\begin{split}
SE\left( \tilde{T}_{M}|n_M\right)
&=N_M
\left( \dfrac{1}{1-\frac{1}{2^n}}\right)
\sqrt{\ \frac{1}{n_M(n_M-1)}\sum ^{n_M }_{i=1}\left(x_{i}-\dfrac{1}{n_M}\sum ^{n_M}_{i=1}x_{i}\right) ^{2}}
\end{split}\)
今、 \(n_{M}=4\) だから、
\(\displaystyle \frac{1}{n_M(n_M-1)}\sum ^{n_M }_{i=1}\left(x_{i}-\dfrac{1}{n_M}\sum
^{n_M}_{i=1}x_{i}\right) ^{2}
=\frac{1}{4\cdot 3}(20^2+0^2+0^2+20^2)=\frac{200}{3}\)
\(\displaystyle SE\left( \tilde{T}_{M}|n_M\right)
=5000\cdot \frac{1024}{1023}\cdot \sqrt{\frac{200}{3}}=40864.7=40865\)
\(\displaystyle SE\left( \tilde{T}_{M}|n_M\right)
=5000\cdot \frac{1024}{1023}\cdot \sqrt{\frac{200}{3}}=40864.7=40865\)
(5) ［事後層化］
ア ンケート回答者を性別や年齢などによって均一なグループ(層)にわけ、対応する母集団の層にふくまれる人数の
比率でウェイト付けするという方法である。
あとは解答参照。