母平均の検定では、
標本平均と母平均との差を母標準偏差という尺度で測り、確率的距離であるP値を求めることで検定を行いました。
独立２群の平均差の検定では、尺度である標準偏差をどうするかという問題が生じます。
テキストp88-p89の部分ですが、市原先生の「バイオサイエンスの統計学」p74では正規検定という名称で扱われています。
（分布が正規分布に従うか検定する正規性の検定と間違われる心配があるので、この名称は使わない方がよいでしょう）.
また、「統計検定２級対応統計学基礎（改訂版）」ではp152に説明があります。
実際の調査で、母分散が既知ということは考えられないので、数理的な公式と考えてください。
\(X_1\sim
N(\mu_1,\sigma_1^2)\:,\:X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\::i.i.d.\)
は独立な２群を表す確率変数。
独立な２群からの標本数を \(n_1,n_2\)とする。
\(\overline{X_1}\sim N\left(\mu_1,\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}\right)\:,\:\overline{X_2}\sim N\left(\mu_2,\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}\right)\) より
\(\overline{X_1}-\overline{X_2}\sim
N\left(\mu_1-\mu_2\:,\:\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}\right)\)
＜帰無仮説＞ ２群の平均に差はないのもとでは、
\(\overline{X_1}-\overline{X_2}\sim
N\left(0\:,\:\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}\right)\)
\(\dfrac{\overline{X_1}-\overline{X_2}}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N\left(0\:,\:1\right)\)と書けば、p88下の参考の式となります。
注意.
この式を用いると、２群の母分散が等しくないときでも、母平均の差の検定ができます。
テキストp90-p91上部であり、市原先生の「バイオサイエンスの統計学」ではp72に二標本t検定とという名称で扱われています。
２群の母分散が未知なので、２群からの標本の不偏分散を \(s_1^2,s_2^2\) とします。
ことになります。（当サイト独立２群の差の検定参照 ）
次に、
等分散の前提のもとで、何を共通の分散とするのかという問題が生じます。
結論を言えば、
２群の混合分布で、２群の群内変動として、プールされた分散を２群の共通分散と考えます。
具体的には.
２群をプールした偏差平方和は \(s_1^2(n_1-1)+s_2^2(n_2-1)\)
自由度は \((n_1-1)+(n_2-1)=n_1+n_2-2\)
２群をプールした不偏分散は \(s^2=\dfrac{s_1^2(n_1-1)+s_2^2(n_2-1)}{n_1+n_2-2}\).
これを共通の分散\(\sigma^2\)の代用として用いるので、検定はt検定になります。
検定量 \(t=\dfrac{\overline{X_1}-\overline{X_2}}{s\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)\)
これは、自由度 (\((n_1+n_2-2)\) の t検定になります。（両側検定）
テキストの解説を超えますが、将来の看護研究に備え、もう少し踏み込んでおきます。
市原先生の「バイオサイエンスの統計学」p76によれば、２標本t検定には次の前提が満たされている必要があります。
テキストでは、標本数が大きいので（母分散）＝（標本分散）、
母分散は既知と考え、正規検定を行なっています。
サンプル数30と25をもって、標本分散を母分散と見做せるかどうかについては意見のあるところです。
整理しておくと、
等分散検定.
\(F=\dfrac{S_A/(n_A-1)}{S_B/(n_B-1)}\sim
F(n_A-1,n_B-1)\) F検定を行います。（詳しくは、当サイトF分布
参照）.
\(F=\dfrac{4.3^2}{4.7^2}\sim F(25,30)\) \(F=\dfrac{4.7^2}{4.3^2}\sim F(30,25)\).
どちらを分母にするか戸惑いますが、以下に示す通り. どちらでもP値は変わりません。
2*pf(4.3^2/4.7^2, 25, 30)## [1] 0.65480132*(1-pf(4.7^2/4.3^2, 30, 25))## [1] 0.6548013正規検定.
1-pnorm((29.7-27.4),mean=0,sd=sqrt((4.7)^2/30+(4.3)^2/25))## [1] 0.02916623２標本t検定.
s <- sqrt(((4.7)^2*30+(4.3)^2*25)/(55-2))
s## [1] 4.607111t <- (29.7-27.4)/sqrt(s^2/30+s^2/25)
t## [1] 1.8435231-pt(t,53)## [1] 0.03542347２標本t検定の方が、正規検定よりP値が大きくなっています。
https://bellcurve.jp/statistics/course/18227.html
前節の母比率の検定では. \(\overline{X}\rightarrow
N\left(p,\dfrac{p(1-p)}{n}\right)\) を学びました。
nが大きいとき、標本比率を \(\bar{p}=\bar{X}\) と書けば、
\(\bar{p}\sim
N\left(p,\dfrac{p(1-p)}{n}\right)\) 正規分布に近似されます。
ここでは、ある指標について、２群の母比率 \(p_1,~p_2\) を考え、
大きさ\(n_1,~n_2\) のそれぞれの標本比率
\(\bar{p_1},~\bar{p_1}\)
の値から、母比率\(p_1,~p_2\)に差がないかを検定します。
\(\bar{p_1}\sim N\left(p_1,\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1}\right)\) \(\bar{p_2}\sim N\left(p_2,\dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}\right)\)
\((\bar{p_1}-\bar{p_2}) \sim N\left(p_1-p_2,~~\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}\right)\).
よって、\(z=\dfrac{(\bar{p_1}-\bar{p_2})-(p_1-p_2)}{\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}} \sim N\left(0,~~1\right)\)
帰無仮説 \(p_1=p_2\) のもとでは、
\(p_1,~~p_2\)は未知であるので、\(\bar{p_1},~~\bar{p_2}\)の 加重平均を \(p\) とし、\(p_1=p_2=p\) と考えると、
\((\bar{p_1}-\bar{p_2}) \sim N\left(0,~~\dfrac{p(1-p)}{n_1}+\dfrac{p(1-p)}{n_2}\right)= N\left(0,~~\left(\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}\right)p(1-p)\right)\).
よって、\(z=\dfrac{(\bar{p_1}-\bar{p_2})}{\sqrt{\left(\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}\right)p(1-p)}} \sim N\left(0,~~1\right)\)
これが、p92ポイントに示されている比率差の検定統計量です。
分割表の検定との関連も考えておく. 当サイトの関連ページは、
（テキストの誤植：p94問題文、中年層の洋酒好きは25人である）
Rproject 統計検定 参照.
| 洋酒好き | 洋酒好きでない | 計 | |
|---|---|---|---|
| 若年層 | 45 | 45 | 90 |
| 中年層 | 25 | 55 | 80 |
| 合計 | 70 | 100 | 170 |
\(z=\dfrac{(ad-bc)\sqrt{N}}{\sqrt{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}}\sim N(0,~1)\)
これにより四分表の検定統計量を計算すると.
\(z=2.4793\).
ところで、z値の二乗は自由度１のカイ二乗分布に従う。
\(\chi^2=z^2=\dfrac{(ad-bc)^2N}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\sim
\chi^2(1)\).
Rのカイ二乗検定 chisq.test をイエーツの補正なしで実行すると、
mx=matrix(c(45, 45, 25, 55), nrow=2, byrow=T)
chisq.test(mx,correct=F)##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: mx
## X-squared = 6.1473, df = 1, p-value = 0.01316X-squared = 6.1473 の平方根は 2,4793
で、テキストのZ検定による検定統計量に一致する。
（テキストp95の数値は誤りで、2.477 になるはずである）.
分割表の分析. http://hyoccori-toukei.la.coocan.jp/id-5/id-5/id-3.html
x=1のもとでの相対度数と x=0のもとでの相対度数の差 w w は \(N\left(0,\dfrac{p(1-p)}{a+b}+\dfrac{p(1-p)}{c+d}\right)\)
等分散の検定.
2*(1-pf(18^2/15^2, 7, 5))## [1] 0.7112465等分散は棄却されない。プールされた分散を求め、共通の分散とする。
プールされた分散.
sd <- sqrt((18^2*8+15^2*6)/(14-2))
sd^2## [1] 328.5標本数が少ないので、t検定を行う.
t <- (220-235)/sqrt(sd^2/8+sd^2/6)
t## [1] -1.5324282*pt(t, 12)## [1] 0.1513467帰無仮説は棄却されず、差があるとは言えない。
四分表を作って、カイ二乗検定を行う。
mx=matrix(c(64, 136, 36, 114), nrow=2, byrow=T)
a <- chisq.test(mx,correct=F)
a##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: mx
## X-squared = 2.688, df = 1, p-value = 0.1011カイ二乗値の平方根が、z値である。
z <- sqrt(a$ statistic)
z## X-squared
## 1.6395121-pnorm(z, mean=0, sd=1)## X-squared
## 0.05055332帰無仮説は棄却されない。（テキストの計算は四捨五入のため少し違うように思う）.
番外編では、四分表の解析について述べる。