1 分割表の検定

カイ二乗適合度検定

適合度検定とは「観測度数が理論比率に基づいて得られているか」を検証する仮説検定である。
検定統計量は、　\(\displaystyle \chi_0^2=\sum_{i=1}^{k}\dfrac{(o_i-e_i)^2}{e_i}\)　
帰無仮説が真であるとき、 \(\chi_0^2\) は漸近的に自由度 𝑘 − 𝑟 − 1のカイ二乗分布に従う。ここで、𝑟 は期待度数を求めるために観測値から推定した未知母数の数である。

注意
分子は残差平方であり、期待度数で割ることで残差がセルの度数に左右されないよう調整している。残差は誤差の実現値であることを考えると、適合度検定のカイ二乗値は標準化残差の平方和であり、カイ二乗分布に収束することは自然なことと言える。

四分表
四分表は適合度検定の k=4 のときの特殊な場合である。特殊の意味は、
各行の比率を推定しているため、
自由度は　\(4-2-1=1\) となることである。統計値の計算は一般の分割法と同様である。（当サイト分割表の解析参照。）

分割表の分析では、

まず，χ2検定の結果が有意であるかどうかを判断する．
有意であった場合，関係の強さを連関係数で判断する．

久野真矢様分割表検定の判断の手順によると、
「どこのセルの人数が有意に多いか・少ないかを調整済み残差で判断する．」
となっている。

カイ二乗検定は乖離度の検定であり、有意であっても関連性の強さは連関係数を算出しなければ評価できない。
χ2 検定で有意と考えられても，連関係数（φ係数など）が 0.2 未満であれば「連関はほとんどない」と解釈される．

統計科学研究所分割表の検定　をもとにシミュレーションを行う。

1.1 比率の差の検定

帰無仮説 \(p=\dfrac{a+c}{N}\) のもとで乖離度の統計量は
　　　\(T=\dfrac{(ad-bc)^2N}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\) となる。
Tの分布は確率に依存しない。確率の差に依存する。
A群、B群の比率が同じならば自由度１のカイ二乗分布になる。

1.1.1 帰無仮説 p=1/3（共通）

K=c()
for (i in 1:100) {
  A <- rbinom(320, 1, 1/3) # 320回 1セットのうち起こる回数
  a <- sum(A) # 320回 1セットのうち起こる回数
  b <- (320-sum(A))
  B <- rbinom(280, 1, 1/3)
  c <- sum(B)
  d <- (280-sum(B))
  k <- (abs(a*d-b*c))^2*500/((a+b)*(c+d)*(a+c)*(b+d))
  K <- c(K,k)
}
hist(K,prob=T)
curve(dchisq(x, 1),add=T)

1.1.2 共通確率による違い

K：帰無仮説 p=1/3（共通）
L：帰無仮説 p=3/4（共通）　を比較

L=c()
for (i in 1:100) {
  A <- rbinom(320, 1, 3/4)
  a <- sum(A)
  b <- (320-sum(A))
  B <- rbinom(280, 1, 3/4)
  c <- sum(B)
  d <- (280-sum(B))
  k <- (a*d-b*c)^2*500/((a+b)*(c+d)*(a+c)*(b+d))
  L <- c(L,k)
}
par(mfrow = c(1, 2))
hist(K,prob=T,ylim=c(0,0.5),xlim=c(0,12))
curve(dchisq(x, 1),add=T)
hist(L,prob=T,ylim=c(0,0.5),xlim=c(0,12))
curve(dchisq(x, 1),add=T)

sum(L>=3.84)/100#検出力

## [1] 0.02

#curve(dchisq(x, 1),add=T)

A群、B群とも共通のpならば統計量Tの分布は自由度１のカイ二乗分布になる。
（pの値に影響されない）

1.1.3 A群：45/280、B群：27/320 のとき

L=c()
for (i in 1:100) {
  A <- rbinom(320, 1, 45/280)
  a <- sum(A)
  b <- (320-sum(A))
  B <- rbinom(280, 1, 27/320)
  c <- sum(B)
  d <- (280-sum(B))
  k <- (a*d-b*c)^2*500/((a+b)*(c+d)*(a+c)*(b+d))
  L <- c(L,k)
}
par(mfrow = c(1, 2))
hist(K,prob=T,ylim=c(0,0.5),xlim=c(0,12))
curve(dchisq(x, 1),add=T)
hist(L,prob=T,ylim=c(0,0.5),xlim=c(0,12))
curve(dchisq(x, 1),add=T)

sum(L>=3.84)/100#検出力

## [1] 0.73

#curve(dchisq(x, 1),add=T)

両群：p=72/500 のときKと、A,B群異なる場合のLを比較すると、有意差が出やすいことがわかる。
検出力は高い。

2 クロス集計と独立性の検定

2.1 情報Ⅰにおける四分表の例題

実教出版「情報Ⅰ 」p119の四分表を例にとる。
K：45/280=27/320=0.75
L：２群が等確率でない時

K=c();Phai=c()
for (i in 1:100) {
  A <- rbinom(220, 1, 0.75)
  a <- sum(A)
  b <- (220-sum(A))
  B <- rbinom(180, 1, 0.75)
  c <- sum(B)
  d <- (180-sum(B))
  k <- (a*d-b*c)^2*400/((a+b)*(c+d)*(a+c)*(b+d))
  phai <- (a*d-b*c)/sqrt((a+b)*(c+d)*(a+c)*(b+d))
  K <- c(K,k)
  Phai <- c(Phai,phai)
}

L=c();Qhai=c()
for (i in 1:100) {
  A <- rbinom(220, 1, 175/220) # 320回 1セットのうち起こる回数
  a <- sum(A) # 320回 1セットのうち起こる回数
  b <- (220-sum(A))
  B <- rbinom(180, 1, 125/180)
  c <- sum(B)
  d <- (180-sum(B))
  l <- (abs(a*d-b*c))^2*400/((a+b)*(c+d)*(a+c)*(b+d))
  qhai <- (a*d-b*c)/sqrt((a+b)*(c+d)*(a+c)*(b+d))
  L <- c(L,l)
  Qhai <- c(Qhai,qhai)
}
par(mfrow = c(1, 2))
hist(K,prob=T,ylim=c(0,0.5),xlim=c(0,12))
curve(dchisq(x, 1),add=T)
hist(L,prob=T,ylim=c(0,0.5),xlim=c(0,12))
curve(dchisq(x, 1),add=T)

sum(L>=3.84)/100#検出力

## [1] 0.66

#hist(Phai,prob=T)
#hist(Qhai,prob=T)

２つの群における比率が異なっている場合、カイ二乗分布とは離れた分布をすることが読み取れる。この場合、統計量は異常値を出力する。
しかし、検出力は高いとは言えない。

2.2 ファイ係数の分布

関連の強さを評価するのがφ係数などの連関係数である。

par(mfrow = c(1, 2))
hist(Phai,prob=T)
hist(Qhai,prob=T)

mean(Phai)

## [1] -0.001605509

mean(Qhai)

## [1] 0.1200401

偏りがないとき、ファイ係数は０を中心に分布する。
右図の場合でもファイ係数は0.1であり、関連があるとは言えない。
次に示すように、カイ二乗独立検定でも有意とはならない。

2.3 カイ二乗独立検定

vx=matrix(c(175,45,125,55),nrow=2,byrow=T)
chisq.test(vx,correct=F)#補正なし

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  vx
## X-squared = 5.3872, df = 1, p-value = 0.02028

chisq.test(vx,correct=T)#補正あり

## 
##  Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
## 
## data:  vx
## X-squared = 4.862, df = 1, p-value = 0.02746

イエーツの補正を行うと、p値が大きくなり、検定が厳しくなっていることがわかる。

2.4 イエーツの補正の効果

M=c()
for (i in 1:100) {
  A <- rbinom(220, 1, 175/220) # 320回 1セットのうち起こる回数
  a <- sum(A) # 320回 1セットのうち起こる回数
  b <- (220-sum(A))
  B <- rbinom(180, 1, 125/180)
  c <- sum(B)
  d <- (180-sum(B))
  m <- (abs(a*d-b*c)-200)^2*400/((a+b)*(c+d)*(a+c)*(b+d))
  M <- c(M,m)
}

par(mfrow = c(1, 2))
hist(L,prob=T,ylim=c(0,0.5),xlim=c(0,12))
curve(dchisq(x, 1),add=T)
hist(M,prob=T,ylim=c(0,0.5),xlim=c(0,12))
curve(dchisq(x, 1),add=T)

sum(L>=3.84)/100

## [1] 0.66

sum(M>=3.84)/100#検出力

## [1] 0.6

補正の効果はないように見える。

3 カテゴリ変数2つの解析

中澤港様参照

2つのカテゴリ変数の関連の強さをみる

カイ二乗検定やフィッシャーの直接確率検定では，関連の強さはわからない。
（帰無仮説とする分布からの乖離度を検定するだけである）
1つのカテゴリ変数をグループ分けを示す変数と考え，もう1つのカテゴリ値の取り方が，グループ間で何倍違うかをみるのが「リスク比，オッズ比，罹患率比」である。（大小がある）
カテゴリの増減が一致している程度をみる のが、ユールのQ，ファイ係数(四分点相関係数)，クラメールの V ，一致係数である。（大小がある）
リスク比（RR)）やオッズ比（OR）の分布はサンプル数が大きくなると正規分布に近づく。しかし右裾を引いているので，対数変換した方か近似が良い。
対数オッズ比 \(\log OR\) をロジットという。
帰無仮説のもとで \(N\left(0,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\) に従う。

実際には、\(\log\left(\dfrac{a/b}{c/d}\right)\) を点推定値として \(N\left(\log\left(\dfrac{a/b}{c/d}\right),\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\) に従うことが確かめられる。

4 オッズ比とロジット

4.1 群A 1/4 、群B 1/4 のとき.

OR=c()
for (i in 1:1000) {
  A <- rbinom(320, 1, 1/4) # 320回 1セットのうち起こる回数
  a <- sum(A) # 320回 1セットのうち起こる回数
  b <- (320-sum(A))
  odsA <-a/b
  B <- rbinom(280, 1, 1/4)
  c <- sum(B)
  d <- (280-sum(B))
  odsB <-c/d
  or <- odsA/odsB
  OR <- c(OR,or)
}
hist(log(OR),prob=T)
s=sqrt(1/a+1/b+1/c+1/d)
curve(dnorm(x,0,s),add=T)

mean(OR)

## [1] 1.020115

4.2 群 A 1/4 、群 B 1/2 のとき.

OR=c()
for (i in 1:1000) {
  A <- rbinom(320, 1, 1/4) # 320回 1セットのうち起こる回数
  a <- sum(A) # 320回 1セットのうち起こる回数
  b <- (320-sum(A))
  odsA <-a/b
  B <- rbinom(280, 1, 1/2)
  c <- sum(B)
  d <- (280-sum(B))
  odsB <-c/d
  or <- odsA/odsB
  OR <- c(OR,or)
}
hist(log(OR),prob=T)
s=sqrt(1/a+1/b+1/c+1/d)
curve(dnorm(x,-log(3),s),add=T)

mean(OR)

## [1] 0.3356097

いずれの場合も正規分布で近似できていることがわかる。

対数オッズ比 \(\log OR\) の分散の導出は、オッズ比の分散を計算するを参照
デルタ法は、当サイト「統計学実践ワークブック16_20」参照.

対数オッズも対数オッズ比も正規近似ができる。また、オッズ比は相対リスクの近似値として利用できる。（ワークp260）