学習のまとめ２_解説

1. 表による分散計算（分散のレジメp5の問題）.

表は次のようになる.

階級値	度数	階級値・度数	偏差	偏差平方・度数
30	2	60	-25	1250
40	4	160	-15	900
50	14	700	-5	350
60	12	720	5	300
70	8	560	15	1800
Total	40	2200		4600

　　　平均　\(m=\dfrac{2200}{40}=55\)　　　　分散　\(V=\dfrac{4600}{40}=115\)　 　

　
　

2. 中央値.

箱ひげ図を描き、（　）を埋めなさい。
(1).

## [1] 1 2 4 9

　

第１四分位数　\(Q_1=\)（　　）、第２四分位数　\(Q_2=\)（　　）.
　

第３四分位数　\(Q_3=\)（　　）、四分位範囲＝（　　）、四分位偏差＝（　　）.
　

(2).

## [1]  3  5  6  7  8 10

　

第１四分位数 \(Q_1=\)（　　）、第２四分位数 \(Q_2=\)（　　）.
　

第３四分位数 \(Q_3=\)（　　）、 四分位範囲＝（　　）、四分位偏差＝（　　）.

3. 混合分布.

(1)　Aの平均と分散を計算し、手計算の欄に記入しなさい。 　

## [1] 9 1 4 2

　

c(mean(r1),var(r1)*(n1-1)/n1)#関数による計算

## [1] 4.0 9.5

［手計算］.
　
　
　
　

(2)　Bの平均と分散を計算し、手計算の欄に記入しなさい。 　

## [1]  5  3  6  7  8 10

　

c(mean(r2),var(r2)*(n2-1)/n2)#関数による計算

## [1] 6.500000 4.916667

［手計算］.
　
　
　
　

(3)　A,Bを合わせたCの平均と分散を計算し、手計算の欄に記入しなさい。
（同じ値がない場合は、表を使わないほうがいいです）.

##  [1]  9  1  4  2  5  3  6  7  8 10

　

c(mean(U),var(U)*(n1+n2-1)/(n1+n2))

## [1] 5.50 8.25

［手計算］.
　
　
　
　

4 参考.

２群の箱ひげ図は次のようになります。

## [1] 9 1 4 2

## [1]  5  3  6  7  8 10

２群の中央値及び全体の中央値は次のとおりです。

Me <- c(median(r1),median(r2));Me

## [1] 3.0 6.5

ME <- c(median(U));ME

## [1] 5.5

＜硏究＞.

混合分布のテーマは、

　「2つの群が合わさると、平均や分散はどのようになるか。」.

ということで、将来、重要なテーマとなります。例えば、
全国の医療データは、各都道府県のデータをもとに集計します。つまり、都道府県のデータを混合したものが全国データです。混合すると平均や分散がどのようになるかを知っておくことは重要です。

以下の公式が成立することを、上の例で確かめましょう。

２群 \(U_A, U_B\) について、
　　\(U_A\) : \(n_A\)個　平均 \(\mu_A\)　標準偏差 \(\sigma_A\)
　　\(U_B\) : \(n_B\)個　平均 \(\mu_B\)　標準偏差 \(\sigma_B\)

\(U=U_A\cup U_B\) ：\(n\)個の平均 \(\mu\)　標準偏差 \(\sigma\) について、
　混合率　\(p_A=\dfrac{n_A}{n}~,~~p_B=\dfrac{n_B}{n}~~~\)とすると、

• \(\mu=p_A~\mu_A+p_B~\mu_B\)

• \(\sigma^2=p_A~\sigma_A^2+p_B~\sigma_B^2+p_Ap_B(\mu_A-\mu_B)^2\)

この式が成立していることを確かめます。

n1/(n1+n2)*mean(r1)+n2/(n1+n2)*mean(r2)

## [1] 5.5

n1/(n1+n2)*var(r1)*(n1-1)/n1+n2/(n1+n2)*var(r2)*(n2-1)/n2+0.4*0.6*(mean(r1)-mean(r2))^2

## [1] 8.25

５. 注意事項.

• 電卓は使用可能ですが、貸し借りはできません.
• スマホや携帯、パソコンは使用禁止です.
  
• スマホやパソコンの電卓機能も使用禁止です.
• 学習のまとめやプリントで、よく復習してください。

　中間考査のポイントは「分散の計算」です.

• 考査で “研究” の表記がある問題は、少し難しい問題です。
  
• 9月の講義で、総まとめを行います。

＜数列の和の公式との関係＞.

n 個から１個選んだものの順位をRとすると、Rは一様分布に従う確率変数で、

　　\(P(R=i)=\dfrac{1}{n}\)　　　\(\displaystyle E(R)=\sum_{i=1}^n i\cdot \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n+1}{2}\)

　　\(\displaystyle E(R^2)=\sum_{i=1}^n i^2\cdot \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6}\)

　\(\therefore V(R)=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6}-\left(\dfrac{n+1}{2}\right)^2=\dfrac{(n+1)(n-1)}{12}\)

(n1+n2)*(n1+n2+1)/2/10#平均

## [1] 5.5

(n1+n2+1)*(n1+n2-1)/12#分散

## [1] 8.25