参考資料「項目反応理論(IRT)の考え方と実践」.

［分析手順］.
1.正答率の計算(colMeans 関数) 　　2.I-T 相関の計算(cor 関数).
3.１次元性の検討(fa.parallel 関数) 　4.項目母数の推定(est 関数).
5.潜在特性値の推定(mlebme 関数)　6.局所独立性の検討(irf 関数と cor 関数)
7.項目適合度の検討(itf関数)　　　　8.項目特性曲線の作成(irf 関数と plot 関数)
9.テスト特性曲線の作成(trf 関数と plot 関数).
10.テスト情報曲線の作成(tif 関数と plot 関数).

使われているパッケージは、ltm と irtoys である。
パッケージ ltmでは、
　　1母数モデル(rasch)、2母数モデル(ltm)、段階反応モデル(grm).
パッケージ irtoysでは、
　　est、mlebme、irf、itf、trf、tif が使われる。
詳しくは上記資料を参照。

1 IRTの利点.

テストに含まれる項目の難易度と受験者の能力を分離して表現できる。

  • CTT：古典的テスト理論.

  • IRT：項目反応理論.
    D=1.7のとき 正規累積モデル と ロジスティックモデル は近似的に一致する.
    尺度値ごとに誤差の大きさ（測定精度）を算出できる.

2 IRTモデル.

参考資料 p37「最尤推定の性質」から.

  • 最尤推定値の標本分布は、項目数が大きくなると正規分布に近づく(漸近正規性).
  • 最尤推定値の平均は、項目数が大きくなると真の値に近づく（漸近不偏性）.
    　　　\(E(\widehat\theta_i|\theta_i)\rightarrow \theta_i\)
  • 最尤推定値の分散は、項目数を増やすとフィッシャー情報量の逆数に近づく.
    　　　\(V(\widehat\theta_i|\theta_i)\rightarrow \dfrac{1}{I(\theta_i)}\)
    （テスト情報関数TIFの値の逆数に近づくことになる）.

テスト情報関数.

  • 項目 \(j\) の項目情報関数　\(I_j(\theta_i)=D^2a_j^2 P_j(\theta_i)(1-P_j(\theta_i))\).
  • テスト情報関数　\(\displaystyle I(\theta_i)=\sum_{j=1}^{n}I_j(\theta_i) =\sum_{j=1}^{n} D^2a_j^2 P_j(\theta_i)(1-P_j(\theta_i))\).
    テスト情報関数の値はテストのフィッシャー情報量に等しい.
  • 推定値 \(\widehat \theta_i\) の標準誤差は.

　　　　　　\(SE\rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{I(\theta_i)}}\)　　　（フィッシャー情報量の平方根の逆数）.

問題数が増えれば推定精度は上がることになる。

テスト情報関数のグラフは 参考資料p39のようになり、テスト情報関数 \(I(\theta_i)\) が最大のとき、テスト情報量が最も大きく、標準誤差SEは最小となる。

参考資料p42の図では、問題の解答が進むにつれて、\(\theta\) が収束し標準誤差が小さくなっていくことが分かる。

2.1 １パラメータモデル.

　　　\(p_j(\theta) =\dfrac{1}{ 1+\exp \left[ -Da\left(\theta -b_{j}\right) \right]}\).　（Dは尺度因子）
　　　(D=1.7 とするとプロビットモデルに近似的に一致する)

2.2 ２パラメータモデル.

　　　\(p_j(\theta) =\dfrac{1}{ 1+\exp \left[ -Da_{j}\left(\theta -b_{j}\right) \right]}\).　（Dは尺度因子）
　　　(D=1.7 とするとプロビットモデルに近似的に一致する)

項目情報関数（Item Information Function）

　　　\(f_i(\theta)=D^2a_i^2P_i(\theta)(1-P_i(\theta))\).
学力 \(\theta\) の推定精度を表し、大きい程よいといわれる。 式の持つ意味を考えてみよう。 全員が解ける問題や誰も解けない問題は、学力測定として意味をなさないので除外される。 つまり、問題の情報量は、解ける確率 \(P_i(\theta)=0.5\) のとき最大になると考えるのが自然である。 上記の \(f_i(\theta)\) は \(P_i(\theta)\) の二次関数であり、\(P_i(\theta)=0.5\) のとき最大となるので、問題の情報量を与える関数として適切と考えられる。
また、 \(P_i(\theta)=0.5\) となるのは、項目特性曲線で \(\theta=b_i\) (困難度)のときであるので、項目情報関数 \(f_i(\theta)\) も \(\theta=b_i\) (困難度)で最大となる。識別力 \(a_i\) が大きいほど、\(f_i(\theta)\) の最大値は大きい。

2.3 ３パラメータモデル.

　　　\(P\left( U_{i}=1| \theta \right) =c_i+\dfrac{1-c_i}{\left( 1+\exp \left[ -Da_{i}\left(\theta -b_{i}\right) \right] \right) }\).　（Dは尺度因子）
　　　(D=1.7 とするとプロビットモデルに近似的に一致する)

2.4 ３つのIRTモデルの比較.

最小標本数.

1PLMは100-200　　2PLMは200-400　　3PLMは1000-2000

3 項目特性曲線の解釈.

能力値が\(\theta\)である受験者母集団における正答者の比率と解釈する。

4 ロジスティックモデルと正規累積モデル.

プロビットモデルは、D=1.7 としたロジスチックモデルと近似的に一致する。

5 ロジットによる表現.

5.1 オッズ.

オッズとは「見込み」のことで、ある事象が起きる確率pの(1 − p)に対する比を意味する.
　　　　　\(odds=\dfrac{P_j(\theta)}{1-P_j(\theta)}\).

  • odds=1 は \(P_j(\theta)=0.5\)：起きるか起きないかが同程度.
  • odds>1 は \(P_j(\theta)> 0.5\)：起きやすい.
  • odds<1 は \(P_j(\theta)< 0.5\)：起きにくい.
    を意味することになる.

正規分布との関連.
被験者を多く取ると、能力の分布は正規分布に近似していると考えられる。
また能力の高いものはより下位の問題をパスする（解ける）と考えられるので、ある問題が解ける人数は、横軸にの力をとると正規分布に従う度数で累積的に増加する。
従って、ある問題が解ける確率は正規分布の累積関数に従うと考えることができる。
これがテスト理論における確率モデルである。
ところが、正規分布の累積関数は計算が煩雑になるので、ロジスティックモデルで近似される。
（この説明は小杉先生の資料p3〜に詳しい）

5.2 ロジット.

確率pは、0～1の範囲です.

  • オッズp/(1-p)にすると、0～＋∞の範囲になります.
    対数オッズlog{p/(1-p)}にすると、－∞～＋∞の範囲になります.
    （確率→対数オッズにすることを、「ロジット変換」と呼びます）.

  • 対数オッズでは、定義域と値域に制限がなくなり、変域が揃うため、「線形回帰式」が使用できるようになります.

［対数をとる理由］.
自然界の現象は、直線的な変化をするものばかりではない。
　(a) 指数関数的に増加.
　(b) ロジスティック関数的に変化.
人口の増加は(a)のタイプと考えられたが、現実には人口の増加には抑制が働くので、現在は(b)のタイプのモデルが考案されている。
では、(b)のタイプの現象を解析するにはどうしたらよいだろうか？
パソコンのない状況で(b)タイプの関数式を算出することは難しい。しかし、直線への当てはめは難しくはない。傾きと切片に注目すればよいからである。

一次式で近似すれば.

　　　\(logit(P_j(\theta))=\log\left(\dfrac{P_j(\theta)}{1-P_j(\theta)}\right)=a_j(\theta-b_j)\)　
　　　\(P_j\left( \theta \right) =\dfrac{1}{ 1+\exp \left[ -a_{j}\left(\theta -b_{j}\right) \right] }\).

これはジグモイド関数と呼ばれる曲線になり、正規分布の累積曲線を用いるプロビットモデルと近似的に等しい。
加藤先生のテキストでは、この関数を用いて帰納的に説明している。

5.3 対数オッズ比.

1PLモデルについて、項目\(j\)と項目\(j'\)の困難度を比較する。
　　　\(P_j\left( \theta \right) =\dfrac{1}{ 1+\exp \left[ -\left(\theta -b_{j}\right) \right] }\).

　　　\(logit(P_j(\theta))=\log\left(\dfrac{P_j(\theta)}{1-P_j(\theta)}\right)=(\theta-b_j)\)　
このとき、
　　　\(logit(P_j(\theta))-logit(P_{j'}(\theta))=\log\left(\dfrac{odds_j}{odds_{j'}}\right)=-b_j+b_{j'}\).
ロジットの差は、
２つの項目の対数オッズ比であり、２つの項目の項目困難度の差に等しい.
（\(\theta\)に依存しない）　\(LOR=\log\left(\dfrac{odds_j}{odds_{j'}}\right)\) とすると、

  • LOR = 0 は \(b_j=b_{j'}\)：項目\(j\)と項目\(j'\)は同程度.
  • LOR > 0 は \(b_j<b_{j'}\)：項目\(j\)は項目\(j'\)より易しい.
  • LOR < 0 は \(b_j>b_{j'}\)：項目\(j\)は項目\(j'\)より難しい.

を意味する。

このように、IRTにおいて、対数オッズ比は２つの項目の困難度を比較するものである。

＜参考＞　オッズを２群の比較で用いる場合.
これは２つの群の比較であって、テスト理論とは扱いが異なる。

  • オッズ 比とは、ある事象の起こりやすさを2つの群で比較して示す統計学的な尺度である.

  • オッズ比が1とは、対象とする条件あるいは事象の起こりやすさが両群で同じということ.

  • オッズ比が1より大きい（小さい）とは、事象が第1群（第2群）でより起こりやすいということ.

この場合、対数オッズ比は２つの群での事象の起こりやすさを比較している。

6 不変性とRashモデル.

不変性.

  • 項目パラメータが、受験者集団に依存せず推定される.
  • 能力パラメータが、項目に依存せず推定される.

これは考えてみれば当然のことである。
例えば、直線というモデルが決まっていれば、代入する点がどれであっても求まる傾きと切片は同じである。今、モデルが1PLと決まっているので、代入する点が何であろうと、求まる係数は同じである。

問題は、モデルがあっているかどうかである。

ラッシュとサーストン.

  • ラッシュは、データが1PLモデルに合致することを前提として考えた.
  • サーストンはデータに応じて、1PL,2PL,3PLモデルを考えるべきとした.

7 テスト特性曲線.

テスト特性曲線(TCC)は、テストに含まれる項目のICCを合計したもの.

8 まとめ.

項目特性曲線は，個々の項目の特徴を表すものであり，横軸に受験者の能力θを，縦軸にその項目に対する正答確率を取ったもの。ある項目の正答確率を受験者の能力パラメタ θ の関数として表現する。

テスト特性曲線とは，テストに含まれる項目の ICC を合計したもので，能力 θ に対応する期待正答数を表す.

9 練習問題.

2.(b) 2PLM.

curve(1/(1+exp(-1.7*0.5*(x+0.5))),-4,4) # a=0.5, b=-0.5
curve(1/(1+exp(-1.7*1.2*(x-0.5))),col="lightblue",add=TRUE) # a=1.2, b=0.5