2013 社会 （統計検定1級応用 過去問の解説です）
- 効用関数・無差別曲線、ラスパイレス指数
2013社会① 効用関数・無差別曲線
10分でわかるミクロ経済学 – 需要曲線や供給曲線をわかりやすく解説
https://vicryptopix.com/micro/#i-11
・ 効用関数は１種類の財の消費量と効用の関係を表した。
・ 無差別曲線は２つの財の効用が最大化する最適なバランスを表した。
・ 予算制約線と無差別曲線を結ぶことで最適消費点が求められる。
・ 財の価格を変化させることで予算制約線が変化し、最適消費点も変化する。
・ それらの最適消費点を結ぶと需要曲線となる。
東洋大学経済学部 堀田真理 無差別曲線と効用最大化（効用水準について）
http://www2.toyo.ac.jp/~m-hotta/finance2015A3.pdf
効用水準とは、効用関数は満足度を表す。満足度の水準を与えたとき、その水準値に対する効用関数の原像(x,y)の表すグラフを無差別曲線という。水準を一定に保ちながら、(x,y)を変化させることができる。
［定義］
支出金額 \(M=\sum ^{n}_{i=1}p_{i}q_{i}\) 財の支出構成比 \(\displaystyle s_{i}=\frac{p_{i}q_{i}}{M}\)
（ \(p_{i}\) は価格、 \(q_{i}\) は購入量、 \(i=1,2,\cdots ,n\) は財を表す)
時刻 t における \(i\) 財の個別価格指数 \(\dfrac{p_{ti}}{p_{0i}}\) （基準時との価格比）
これらの記号のもとで、
t時点での支出金額 \( M_{t}=\sum ^{n}_{i=1}p_{ti}q_{ti} \) （ \( p_{ti} \) は価格、 \( q_{ti} \) は購入量、 \( i=1,2,\cdots ,n \) は財を表す)
t=0 における、 \(i\) 財の支出構成比を、\( \displaystyle s_{0i}=\frac{p_{0i}q_{0i}}{M_0}\)
t=1 における、 \(i\) 財の個別価格指数を、 \(\dfrac{p_{1i}}{p_{0i}}\) とすると、
t=1 における、ラスパイレス価格指数は、
\(L_p=\dfrac{\sum ^{n}_{i=1}p_{1i}q_{0i}}{\sum ^{n}_{i=1}p_{0i}q_{0i}}
=\frac{\sum ^{n}_{i=1}p_{1i}q_{0i}}{M_0}
=\sum ^{n}_{i=1}s_{0i}\cdot \dfrac{p_{1i}}{p_{0i}}\)
（商品の個別価格指数の加重平均になっている）
［解説］
(1)
(2)
ラスパイレス価格指数は、商品の個別価格指数の加重平均である。
加重比率は、基準時の販売個数であるが、実際は個別価格指数が増えれば販売個数は下がる。
ところが、その販売個数を基準時のまま当てはめるので、ラスパイレス価格指数は値が大きめに出ることになる。
(3)
効用関数が、
\(u\left( q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}\right) =\prod ^{n}_{i=1}q_i^{\alpha _{i}}\) によって特定されている。（ \(\alpha_i\) は定数）
予算 \(M\) と価格 \(p_1,p_2,\cdots,p_n\) を固定したとき、 \(u\left( q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}\right) \) を最大にする販売個数 \(q_1,q_2,\cdots,q_n\) を求める。ラグランジュの未定係数法により、
\(q_{i}=M\cdot \dfrac{\alpha _{i}}{p_{i}}\) \(\therefore \dfrac{p_{i}\cdot q_{i}}{M}=\alpha _{i}\)
つまり、支出構成比が \(\alpha_i\) に一致するとき、 \(\alpha_i\) は最大となる。
(4)
t=0 において、消費者の合理的な行動を仮定することは、効用関数を最大とするように購入することを意味するから、 \(\alpha _{i}=\dfrac{p_{0i}\cdot
q_{0i}}{M_{0}}\) によって、\(\alpha_i\) を定める。
このとき、効用水準は効用関数の初期値だから、
\(u_{0}= \prod ^{n}_{i=1}\left( \dfrac{\alpha _{i}}{p_{0i}}\right) ^{\alpha _{i}} M_{0}\) 価格 \(p_{0i}\) と支出金額 \(M_0\) の関数になる。
（効用水準を保つように \((q_{t1},q_{t2},\cdots,q_{tn})\) が変化すれば無差別曲線が得られる）
t=1 において、 \(u_{1}= \prod ^{n}_{i=1}\left( \dfrac{\alpha _{i}}{p_{1i}}\right) ^{\alpha _{i}} M_{1}^{\ast}\)
\(u_0=u_1\) とすると、
\( \prod ^{n}_{i=1}\left( \dfrac{\alpha _{i}}{p_{1i}}\right) ^{\alpha _{i}} M_{1}^{\ast}= \prod ^{n}_{i=1}\left( \dfrac{\alpha _{i}}{p_{0i}}\right) ^{\alpha _{i}} M_{0}\)
よって、
\(\frac{M_{1}^{\ast}}{M_{0}} = \prod ^{n}_{i=1}\left( \dfrac{p_{1i}}{p_{0i}}\right) ^{\alpha _{i}} \)
これは \(\displaystyle\frac{p_{1i}}{p_{0i}}\) の加重幾何平均である。
［加重幾何平均］
高校数学の美しい物語 「重み付き相加相乗平均の不等式の証明」参照
https://mathtrain.jp/wighted_amg
［更新日］