ヒストグラムや確率密度関数（確率分布のグラフ）は起こりやすさを表しています。
山の高いところは起こりやすく、山の低いところは起こりにくいところです。
　ざっくりと表現すると、

・平均を中心に左右標準偏差 2つ分に95％が入ると考えるのが統計的推測、
・標準偏差 2つ分より中心から離れることはあり得ない（5％しかない）と考えるのが統計的検定です。
　（正確な数値は以下に記述します）

推定や検定は、数学モデルに当てはめることで可能になります。
ガウスは、平均 \(\mu\) 　分散 \(\sigma^2\) である確率変数 Xの確率密度関数が、
　　　\(X\sim N(\mu,\sigma^2):f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2}}\)
　　　に当てはることが多いことを発見しました。
特に、平均 0 　分散 1 であるとき標準正規分布といい、確率変数 Zの確率密度関数は、
　　　\(Z\sim N(0,1)~~:~f(z)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\)
　　　となり、確率を求める数表「標準正規分布表」が与えられています。
　　　（平均 0 　分散 1 でないときは、変数変換すると標準正規分布表を利用できます）

1 統計的推定

アイスクリーム
　あるアイスクリーム屋さんのアイスの重さは、平均５０ｇ、標準偏差３ｇの正規分布に従います。
あなたは大のアイス好きで、毎日欠かさず買いに行っています。今日あなたが買うアイスの重さを確率95%で推定しましょう。
ざっくり言えば、
　　　平均が５０だから予測値は５０（点推定といいます）
平均を中心に標準偏差2つの幅に収まる確率が95%なので、
　　　４４から５６の範囲（確率95%の区間推定といいます）

もう少し練習しましょう。

（標準正規分布表はなるほど統計学園（統計的推定と統計的仮説検定）の下部にあります。）

よく冷える冷蔵庫
　あるメーカーの冷蔵庫１００００台について冷蔵庫内の温度ｚを調査したところ、平均μ=0、標準偏差σ=1であった。今度、自分でそのメーカーの冷蔵庫を買うことになったが、自分の買う冷蔵庫の庫内温度ｚについて、次の確率を求めよ。(標準正規分布表を利用）

\(P(z<0)\)
　\(P(z<0)=P(z<0)=0.5\)
\(P(z>2)\)
　\(P(z>2)=0.5-P(0<z<2)=0.5-0.47725=0.02275\)
\(P(|z|<1.96)\)
　\(P(|z|<1.96)=2P(0<z<1.96)=2*0.475=0.95\)

1.0.1 注意

冒頭で「標準偏差2つ分」と書きましたが、正確には

・平均を中心に左右標準偏差標準偏差 1.96個分に95％が入ると考えるのが統計的推測、
・標準偏差標準偏差 1.96個分より中心から離れることはあり得ない（5％しかない）と考えるのが統計的検定です。

以降、95%の推定では「1.96個分」を用いてください。

平均 0 、分散 1 でないときは、標準化という変数変換を行います。

1.0.2 標準化

\(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\)　はXの確率密度関数のグラフを、
　　平均が 0 になるように平行移動し、
　　x軸方向へ（0を中心に）\(\sigma\) 分の１に縮小する変換です。（標準化といいます）

例えば、

平均３標準偏差２の正規分布 \(X\sim N(3,~2^2)\) （黒色グラフ）は、
\((X-3)\)　で、　\((X-3)\sim N(0,~2^2)\)　平均０標準偏差２のグラフ（緑色グラフ）に移動し、
\(Z=\dfrac{X-3}{2}\) で、　\(Z=\dfrac{X-3}{2}\sim N (0,1)\)　標準正規分布（赤色グラフ）に圧縮されます。

curve(dnorm(x, 0, 1),xlim=c(-6, 8.5),ylim=c(0, 0.4), col=2,xaxp=c(-6,7,13))
curve(dnorm(x, 3, 2),xlim=c(-2, 7.5), add=T) 
curve(dnorm(x, 0, 2),xlim=c(-5, 4.5),  col=3,add=T)

緑のグラフが標準正規分布で、x軸方向に0.5倍に縮小しx軸方向に3平行移動することにより、黒のグラフに移っていることが分かります。

タイ焼くんの体重
ある店のタイ焼の重さは、平均μ=102、標準偏差σ=4.6であるという。
この店からタイ焼を１００個買ってきたとき、１０５ｇから１１０ｇのタイ焼は、何個ぐらいはいっているだろうか。
（解）

　\(105<x<110\) とすると、
　　　\(3<x-102<8\) 　\(\therefore ~~\dfrac{3}{4.6}<\dfrac{x-102}{4.6}<\dfrac{8}{4.6}\)
　\(\begin{split} 　　　P(0.652<Z<1.739)&=P(0<Z<1.739)-P(0<Z<0.652)\\ 　　　&=0.45907-0.24215\\&=0.21692 　　　\end{split}\)
　　　よって、２２個くらい入っている。

自動車の燃費
あるメーカーの自動車の燃費は、平均１２㎞／ℓ、標準偏差２㎞／ℓであった。
こんどそのメーカーの自動車を購入することになったが、燃費が１５㎞／ℓ以上である確率を求めよ。
（解）

　\(x>15\) とすると、

　　　\(x-12>3\) 　\(\therefore \dfrac{x-12}{2}>1.5\)

　　　\(P(Z>1.5)=0.5-P(0<Z<1.5)=0.5-0.43319=0.0668\)
　　　確率は、約７％である。　

人数の推計
１００００人の学生について身長を調べたところ、平均１５２㎝、標準偏差４㎝であった。
身長１４８〜１５５㎝の学生数を推計せよ。（解）

　\(148<x<155\) とすると、

　　　\(-4<x-152<3\) 　\(\therefore ~~\dfrac{-4}{4}<\dfrac{x-152}{4}<\dfrac{3}{4}\)
　\(\begin{split} 　　　P(-1<Z<0.75)&=P(0<Z<0.75)+P(0<Z<1)\\ 　　　&=0.27337+0.34134\\&=0.61471 　　　\end{split}\)
　　　10000人の中では、約6147人と推定される。

2 統計的仮説検定

2.1 検定の考え

病院にあるかたが受診に来られました。

　　　「先生、どうも血圧が高いようなんですが。」　　

その患者さんはデーターを整理することが好きで、毎日自分の血圧を測っています。

「私の血圧（最高血圧）は、平均１２０、標準偏差８の正規分布なんですが。」
患者さんは、そのデーターとヒストグラムを見せてくれました。

先生はさっそく血圧を測ってみました。
血圧１４０です。
先生は、すぐ緊急入院するように勧めました。

しかし、その患者さんは、
　　　「血圧は、日によって変動するものです。少し高いからといって、なにも入院する必要はないのではありませんか。」

あなたなら、患者さんをどう説得するでしょうか？
患者さんが統計学を勉強していることを思い出した先生は、こんな説明を思いつきました。

　　　あなたの血圧が１４０を超える確率はどのくらいか知っていますか？
　　　それは、この図の赤の棒の部分で、確率２％なのですよ。
　　　確率２％でしか起こらないことが、今、あなたの身体に起きているのですよ。

患者さんは、事態の重大さに気がついて、入院することを納得しました。

2.2 有意差とP値

先生の説明を整理してみましょう。
患者さんの血圧は１４０でした。
だから、血圧が１４０である確率は１００％であるはずです。
だって、今、測ったのですから！
そもそも、起きてしまったことの確率を考えたって仕方のないことです。
先生は、ある仮説のうえで説明していることに気付いたでしょうか。

　　　【仮説】身体はいつもどおり健康だ。

この前提で血圧を測るとしたら、１４０を越える確率は２％だというのです。
この仮説のもとでは、真ん中の山の高い部分、血圧１２０前後がもっとも起こりやすいのです。
血圧１４０なんて、アンビリーバブル！
緊急事態と考えるべきです。

このとき、１４０という結果は、有意であるといいます。
つまり、ここまできたら偶然ではすまされない。
なんらかの原因が考えられる。
なんらかの意味のある結果だということです。

P値
中央の平均に近いところは起こりやすく、偶然差の範囲と考えます。
中央からはずれたところは起こりにくく、特別なことが起こっていると考えます。偶然を越えた意味のある差ということで、有意差の範囲といいます。

確率分布は平均を中心に山型の形をしており、平均から離れるほど確率は小さくなります。
確率変数 Xがある値aを出力したとき、その値よりも平均から離れる確率をP値といいます。
P値が小さいほど、その値は平均から離れており、起こりにくいことが起きていることになります。

棄却域
平均から離れた、起こることがあり得ない（確率の小さい）範囲を棄却域といいます。
- 棄却域を平均の両側に取る場合、両側検定
- 棄却域を平均の片側に取る場合、片側検定
あり得ない確率を有意水準といい、通常は5%に取ります。
両側検定では左右に2.5%ずつ、
右側検定では右側に5%、左側検定では、左側に5%
棄却域を設けます。

2.3 標本平均の検定

血圧の高い患者さんが、再度来院しました。

　　　「毎日、血圧を測っていますが、やはり平均が１２０で標準偏差が８です。
　　　血圧が高いような気がするので、ここ４日間、血圧を測っています。
　　　平均血圧は、１３２でした。このあいだほどではないですよね。」
先生は、緊急入院を命じました。

「えっ、このあいだは１４０だったから仕方ないとしても、今回は１３０じゃありませんか。どうして入院なんですか？」

先生は、こう説明しました。

　　　一回の測定の標準偏差が８なら、
　　　４回測定して平均する場合の標準偏差は、\(\dfrac{8}{\sqrt{4}}=\dfrac{8}{2}=4\) なのです。
　　　何回かの測定の平均は、あまり動かないはずなのです。
　　　ですから、ほんのすこし右にずれても、有意差の範囲になるのです。

整理してみましょう。

データＸの平均がμ、標準偏差がσであるとき、
　　　\(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\)　
は、平均が０、標準偏差が１になります。
ｚについては、詳しい表が用意されており、偶然差と有意差を隔てる境界は、
右側では、ｚ＝1.64485です。
検査の結果が偶然差の範囲か有意差の範囲かは、標準化してｚ値を求めてみればよいのです。

患者さんの血圧が、平均１２０標準偏差８の正規分布という仮説のもとで、
１回検査をするという確率変数Ｘを考えると、
　　　Ｘは平均１２０標準偏差８の正規分布に従い、
　　　\(z=\dfrac{x-120}{8}\)　は、平均０標準偏差１の標準正規分布に従います。

　　　１回の検査で X=132 ならば、ｚ＝1.5
　　　これは偶然差の範囲です。

４回検査をするという確率変数 \(\bar{X}\) を考えると、

　　　\(\bar{X}\)は、平均１２０標準偏差４の正規分布に従い、

　　　\(z=\dfrac{x-120}{4}\)　は、平均０標準偏差１の標準正規分布に従います。

　　　４回の検査で \(\bar{X}=132\)ならば、ｚ＝3
　　　これは有意差の範囲です。

［整理］
あなたがする検査は、確率変数です。
あなたが検査をするとき考えるべきことは次のことです。

どんな確率分布をしますか？平均・標準偏差は何ですか？
ｚ値は偶然差の範囲ですか、それとも有意差の範囲ですか？

どんな検定でも、この考え方に変わりはありません。もし有意差の範囲まで行っていれば、なにかが起こっていると判断することになります。

2.4 フライドポテトの重量

なるほど統計学園（統計的推定と統計的仮説検定）を参照しながら読んでください。

駅前のハンバーガー店のフライドポテトを買うと「135g」と表示されています。
家へ持ち帰ってデジタルはかりで計測すると 120g でした。花子さんは「135g」という表示に疑問を持ち、調査のためさらに９個、合計１０個を買って重さを調べたところ

120g	124g	126g	130g	130g	131g	132g	133g	134g	140g

となりました。
「135g」という表示は適性と言えるか、統計的仮説検定を行ってみましょう。

帰無仮説：駅前のハンバーガー店のフライドポテトの重量は公表値の「135g」である。

確率変数はフライドポテトの重さXです。
Xの分散 \(\sigma^2\) が分かっているかどうかで方法は変わります。

＜Xの分散が分かっているとき＞
\(\sigma^2=36\) とします。
平均 \(\mu=135\) と仮説を立てているので
　　　\(X\sim N(135,6^2)\)
10個のまとめ買いモードで得られる標本平均 \(\bar{X}=\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_{10}}{10}\)　は確率変数で
　　　\(\bar{X}\sim N\left(135,\dfrac{6^2}{10}\right)\)
今ボタンをまとめ買いモードで１回押しました。
袋に入って出てきたのが
　　　{120g 124g 126g 130g 130g 131g 132g 133g 134g 140g}
レシートには　 \(\bar{X}=130\) と記載されています。
この値は、どれだけ平均から離れているでしょうか？
離れすぎていれば、帰無仮説は疑わしいと考えるのが検定です。
Z値は、平均から標準偏差いくつぶん離れているかを表す数値で、
　　　\(Z=\dfrac{130-135}{\frac{6}{\sqrt{10}}}=-2.64\)
平均から標準偏差2.64個分、左に離れていることになります。
両側検定では、左右に標準偏差2.64個以上離れる確率をP値と考えます。
（標準正規分布表はなるほど統計学園（統計的推定と統計的仮説検定）の下部にあります。）

標準正規分布表から検定統計量2.64に対応する値を確認すると(0.5－0.49585)＝0.00415、
両側検定では2倍した値がP値となるので0.0083がP値となります。
この値は 0.05よりも小さいことから、起こり得ないことが起きたと考えます。
即ち、帰無仮説は疑わしいと考え、棄却します。

しかし、現実には母分散\(\sigma^2\) が分かっていることはありません。
そこで考えられたのが母分散を標本の不偏分散で代用する方法です。

＜Xの分散が分かっていないとき＞
まとめ買いモードの自販機から得られた
　　　{120g 124g 126g 130g 130g 131g 132g 133g 134g 140g}
から計算した不偏分散は
　　\(s^2=\dfrac{1}{n-1} \sum^{n}_{i=1}(x_{i}-\bar{x})^{2}= \dfrac{1}{10-1}\{ ( 120-135)^{2} + ( 124-135)^{2}+ \cdots + ( 140-135)^{2} \}=31.33\)

不偏分散の平方根は、\(s=\sqrt{31.33}=5.59\)　これを母標準偏差\(\sigma\)の推定値として用います。
（10で割って計算する標本分散は小さめに出てしまうので、不偏分散が用いられます）

　\(\bar{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)\) なので、標本平均 \(\bar{X}\) の母分散は\(\dfrac{\sigma^2}{n}\) 　　母標準偏差は \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
　　　\(Z=\dfrac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)\)　標準正規分布に従います。
現実には \(\sigma\) は分からないので、標本の不偏分散から計算した \(s\) で代用したとき、
　　　\(t=\dfrac{\bar{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\)　は標準正規分布に似た分布に従います。
これをt分布といいます。 \(\frac{s}{\sqrt{n}}\) は、\(\bar{X}\) の標準偏差の推定値で、標準誤差といいます。

t分布と標準誤差
X の標準偏差は \(\sigma\) 、\(\bar{X}\) の標準偏差は \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
不偏分散で代用した\(\bar{X}\) の標準偏差
　　　\(SE=\dfrac{s }{\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{ \dfrac{1}{n-1} \sum^{n}_{i=1}(x_{i}-\bar{x})^{2}} }{\sqrt{n}}\) 　　標準誤差（standard error)
　標準誤差は\(\bar{X}\) の標準偏差の推定値ということになります。

標準誤差は不偏分散で代用した標本平均\(\bar{X}\) の標準偏差であり、
標準誤差で標準化するとt値になり、その分布がt分布です。

n個の標本から求めた不偏分散は、(n-1)で割っているので自由度は(n-1)です。
（自由度については別の機会に説明します）
t値は自由度の影響を受け、自由度によって山型グラフの広がりかたが変わります。
t分布についても数表が用意されており、有意水準に対する境界値を調べることができます。

フライドポテトの例では、
　　　\(t=\dfrac{130-135}{\frac{5.59}{\sqrt{10}}}=-2.82\)
t分布表の自由度９の有意水準0.025の境界は2.262 であり、-2.82 は境界値より離れているので、
両側検定のP値は 0.05 より小さくなります。
よって、「フライドポテトの重さは135g」は棄却されます。
（t分布とt検定については「情報Ⅰ」問題解決の章で発展的な内容として取り上げられています。）

次に、r での検定の結果を示します。標準誤差 SE は rでも計算でき、1.77 です。

library(plotrix) #計算のためのパッケージ
x <- c(120,124,126,130,130,131,132,133,134,140)
std.error(x) #標準誤差

## [1] 1.770122

平均が135かどうかのt検定は次のコードで実行されます。

x <- c(120,124,126,130,130,131,132,133,134,140)
t.test(x, mu=135)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  x
## t = -2.8247, df = 9, p-value = 0.01989
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 135
## 95 percent confidence interval:
##  125.9957 134.0043
## sample estimates:
## mean of x 
##       130

［結果の見方］
one sampleは、{120g 124g 126g 130g 130g 131g 132g 133g 134g 140g}
このサンプルの平均は130ですが、それをもとに「母集団平均が135と異なる」かどうか検定します。
仮説として「母集団平均が135のままである」とします。（帰無仮説）
本当に言いたいことは、 alternative hypothesis: true mean is not equal to 135（135と異なること）です。
まとめ買い自販機からの one sampleの平均130 は確率的に起こりうるものでしょうか？
one sampleの平均130が、135から標準偏差いくつ分離れているかで判断します。

\(\bar{X}\) の標準偏差は母標準偏差\(\sigma\)が既知ならば \(\frac{\sigma}{\sqrt{10}}\)ですが、分からないので標準誤差\(SE\)で代用します。
one sampleの平均が135から標準誤差\(SE\)いくつ分離れているか計算した値がt値です。
t = -2.8247より、標準誤差2.8247個分、左に離れており、それ以上離れる確率は両側で p-value = 0.01989です。
t分布の自由度９の段を見ると、右側0.025の有意点は 2.262 、即ち、SE 2.262個以上右に離れる確率は 0.025
平均から右にSE 2.262個の点を計算すると、\(130+2.262*SE=130+2.262*1.77\fallingdotseq134\)
平均から左にSE 2.262個の点を計算すると、\(130-2.262*SE=130-2.262*1.77\fallingdotseq126\)
95 percent confidence interval:(126 , 134)（区間推定と言います）
点推定値は、sample estimates: mean of x = 130

どうでしょうか。計算はパソコンがやってくれますが、結果の解釈は簡単ではありません。
特に、標準誤差は難しい概念なので、練習を通してじっくり学んでください。

東北大学池田郁男先生の資料を参考に上げておきます。
今は難しくても、将来きっと役に立つことと思います。

標準正規分布とt分布は、どのくらい違うのでしょうか？

par(family = "HiraKakuProN-W3") 
curve(dnorm(x, 0, 1),xlim=c(-5, 5),ylim=c(0, 0.4), col=2,xaxp=c(-6,7,13))
curve(dt(x, 9),xlim=c(-5, 5),col=3, add=T) 
legend( "topleft",legend=c("標準正規分布","t分布"), col=c("red","green"),lty=c(1,1))

t分布の方が少し広がった分布であることが分かります。
棄却域（有意差の範囲）はどうでしょうか。

自由度９のt分布の両側5%棄却域

#グラフ
xseq <- seq(-5, 5,length=100)
plot(xseq, dt(xseq, 9),type="l")
p <- seq(-5, -2.262, length=100)
y <- dt(p, 9)
polygon(c(p,rev(p)), c(rep(0,length(p)), rev(y)), col="skyblue")
p <- seq(2.262, 5, length=100)
y <- dt(p, 9)
polygon(c(p,rev(p)), c(rep(0,length(p)), rev(y)), col="skyblue")

境界点は 2.26 です。

標準正規分布の両側 5% 棄却域

#グラフ
xseq <- seq(-5, 5,length=100)
plot(xseq, dnorm(xseq, 0, 1),type="l")
  
p <- seq(-5, -1.96, length=100)
y <- dnorm(p, 0, 1)
polygon(c(p,rev(p)), c(rep(0,length(p)), rev(y)), col="skyblue")
p <- seq(1.96, 5, length=100)
y <- dnorm(p, 0, 1)
polygon(c(p,rev(p)), c(rep(0,length(p)), rev(y)), col="skyblue")

境界点は 1.96 です。