2019 理工 （統計検定1級応用 過去問の解説です）
- 生存時間解析
2019理工① 生存時間解析
生存関数とハザード関数の関係
\(T\) は生存時間（死亡時刻・イベントが起きる時刻）を表す確率変数とする。
生存関数 \(S(t)\) は、被験者がある期間 t よりも長く生きる確率。
\(S(t)=P(T\geq t)\) だから、\(S(0)=1\)
\(\begin{align}h(t)&=\lim_{\delta t \to 0}\frac{P(t\leq T<t+\delta t|T\geq t)}{\delta t}=\lim_{\delta t \to 0}\bigl\{\frac{P(t\leq T<t+\delta t)}{P(T\geq t)}\times\frac{1}{\delta t}\bigr\} \\&=\lim_{\delta t \to 0}\bigl\{\frac{F(t+\delta t)-F(t)}{P(T\geq t)}\times \frac{1}{\delta t}\bigr\}\\&=\lim_{\delta t \to 0}\bigl\{\frac{F(t+\delta t)-F(t)}{\delta t}\times \frac{1}{1-F(t)}\bigr\}\\&= \frac{F'(t)}{1-F(t)}=\frac{-S'(t)}{S(t)} \end{align}\)
\(\therefore h(t)= \dfrac{F'(t)}{1-F(t)} =\dfrac{f(t)}{S(t)}\)
分布関数、確率密度関数の代わりに生存関数・故障率関数や累積ハザード関数がよく使われる。
中央大学 長塚 豪己 様 http://www.ieice-hbkb.org/files/01/01gun_12hen_01.pdf 参照
ここで、累積ハザード関数は、
\(\displaystyle H(t)=\int_0^th(t)dt=\left[-\log S(t)\right]_0^t=-\log{S(t)}\)
両辺を微分すると、 \(h(t)=-\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{\log S(t)\}=-\dfrac{S'(t)}{S(t)}\)
これは微分方程式であり、ハザード関数が分かれば生存関数が分かることを意味する。
（瞬間死亡率から死亡年齢を推定できる。本サイト「微分方程式」参照）
(1) \(
\begin{align}
E(T) &= \int_{0}^{\infty} tf(t) dt
= \left[ t F(t) \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} F(t) dt
\end{align}\)
これでは計算が進まないので、
\(F(x)=1-S(x)\) から \(f(x)=-S'(x)\) として \(S(x)\) で表すと
\(
\begin{align}
E(T) &= \int_{0}^{\infty} t(-S'(t)) dt
= \left[ -t S(t) \right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} S(t) dt\\
&=\int_{0}^{\infty} S(t) dt
\end{align}\)
(2)条件付き期待値
藤原岳彦 様 「大学生の確率・統計」p130 参照
Xの確率密度関数が、 \(f_{X}( x) \) であるとき、
\(a\leq X\leq b\) における条件付き期待値は、 \(E\left( X| a\leq X\leq b\right) =\displaystyle \int _{a}^{b}x\cdot \dfrac{f_{X}\left( x\right) dx}{P\left( a\leq X\leq b\right) }\)
条件付き確率密度関数は、 \(f_{X| a\leq x\leq b}\left( x\right) =\dfrac{f_{X}\left( x\right) }{P\left( a\leq X\leq b\right) }\)
この定義によれば、
\(\displaystyle E(T|T>t) =\int_{t}^{\infty} x \frac{f(x)}{S(t)}
dx
=\dfrac{\int_{t}^{\infty} x {f(x)}dx}{S(t)}\)
分子に(1)と同様の計算を行えば、
\(\begin{split}
E(T|T>t)
&=\dfrac{1}{S(t)}\int_{t}^{\infty} x {f(x)}dx
=\dfrac{1}{S(t)}\left[\left[-xS(x)\right]_t^{\infty}+\int_{t}^{\infty} {S(x)}dx\right]\\
&=\dfrac{1}{S(t)}\left[tS(t)+\int_{t}^{\infty} {S(x)}dx\right]
=t+\dfrac{1}{S(t)}\int_{t}^{\infty} {S(x)}dx
\end{split}\)
\(\displaystyle m(t)=E(T-t|T>t) = E(T|T>t) - t=\dfrac{1}{S(t)}\int_{t}^{\infty} {S(x)}dx\)
これは、平均余命も \(S(x)\) で計算できることを示している。
累積ハザード関数は、
\(\displaystyle H(t)=-\log{S(t)}\) より \(S(t)=\exp\left[-H(t)\right]\)
上記の \(m(t)\) のなかの \(S(t)\) を \(H(t)\) を使って書き直すと、
\(\displaystyle m(t)=\dfrac{1}{S(t)}\int_{t}^{\infty} {S(x)}dx=\dfrac{1}{\exp\left[-H(t)\right]}\int_{t}^{\infty} {\exp\left[-H(x)\right]}dx\)
置換積分で積分区間を \((0,~\infty)\) になおす。（これは平行移動である）
\(\displaystyle m(t)=\dfrac{1}{\exp\left[-H(t)\right]}\int_{0}^{\infty}
{\exp\left[-H(x+t)\right]}dx
=\int_{0}^{\infty} {\exp\left[H(t)-H(x+t)\right]}dx
\)
次に、
\(\displaystyle \int_{t}^{\infty} S(x) dx = m(t)S(t)\) の両辺を \(t\) で微分すると \(-S(t)=m'(t)S(t)+m(t)S'(t)\)
\(-\left(1+m'(t)\right)S(t)=m(t)S'(t)\) \(\therefore ~~\dfrac{S'(t)}{S(t)} = -\dfrac{1+m'(t)}{m(t)} \)
（これは微分方程式の変数分離と類似の手法である）
\(\displaystyle \int_{0}^{t} \frac{1+m'(x)}{m(x)} dx=-\int_{0}^{t} \frac{S'(x)}{S(x)} dx=-\left[ \log{S(x)} \right]_{0}^{t}=-\log{S(t)}\)
よって、\(\displaystyle S(t)=\exp\left[-\int_{0}^{t} \frac{1+m'(x)}{m(x)} dx\right]\)
これで、 \(S(t)\longleftrightarrow m(t)\) 相互の算出が可能となった。
つづく