1 最尤推定法とは.

実際に得られたデータは、パラメータがどのような値の時に最も生じやすいかを調べ、そのデータの生じやすさが最大となるようなパラメータ値を持って推定値とする方法.

2 IRTにおけるパラメータの推定.

項目パラメータ値を用いて能力パラメータの最尤推定値を求める.
能力パラメータ値を用いて項目パラメータの最尤推定値を求める.
項目パラメータと能力パラメータを同時に推定する（同時最尤推定法）.
能力の周辺分布を利用して項目パラメータを推定する（周辺最尤推定法）.

3 能力パラメータの推定.

3.1 項目反応パタンをとる確率.

局所独立性の仮定が満たされていれば、項目反応パタンをとる確率をICCの積で表すことができる。
これは最尤法が適用可能であることを意味する。

3.2 1PLモデル.

項目の困難度パラメータがパラメータが分かっているという前提で、項目反応パタンから能力パラメータを推定する。

横軸に\(\theta\)をとり、縦軸を尤度関数として数値計算を行い、尤度関数が最大となる\(\theta\)を能力の推定値とする。
微分計算に頼らなくても、数値計算で算出ができる。

3.2.1 項目反応パタン.

尤度関数.

icc1PL <- function(b,x){
  prob <- (1)/(1+exp(-(x-b)))
  prob
}

x <- seq(-3,3,0.1)
Q1 <- 1 - icc1PL(1, x)
P2 <- icc1PL(0, x)
P3 <- icc1PL(-1, x)
like <- Q1*P2*P3
l.like <- log(like)
plot(x,like,type="l")

対数尤度関数.

plot(x,l.like,type="l")

最尤推定値.

l.like <- log(like)
#l.like2 <- log(Q1)+log(P2)+log(P3)
x[which.max(l.like)]

## [1] 0.8

このようにwhich関数により最尤推定値を求めることができる。

4 まとめ.

実際には項目パラメータは未知である。そこで、

項目パラメータの推定.
能力パラメータの推定.
項目、能力の同時推定.

これらは第８章で扱われる。

5 練習問題.

5.1 3PLM.

     icc3PL <- function(a, b, c, theta){
       prob <- c + (1-c)/(1+exp(-1.7*a*(theta-b)))
       prob
}

x <- seq(-3,3,0.1)
Q1 <- 1 - icc3PL(1.27, 1.19, 0.10, x) 
Q2 <- 1 - icc3PL(1.34, 0.59, 0.15, x) 
Q3 <- 1 - icc3PL(1.14, 0.15, 0.15, x) 
P4 <- icc3PL(1.00, -0.59, 0.20, x)
P5 <- icc3PL(0.67, -2.00, 0.01, x) 
like <- Q1*Q2*Q3*P4*P5 
plot(x,like,type="l")

5.2 最尤推定値.

x[which.max(like)]

## [1] -0.5

第５章 パラメータ推定の基礎