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統計WEB様 正規分布の発見─統計学史(4).

５章 確率変数で説明したように.
無限回の試行を想定したときヒストグラムがある関数式であらわされることを発見したのがガウスでした。

正確に言うと、平均０ 標準偏差１ である無限個のデータのヒストグラムを面積が確率を表すように修正するとグラフの関数は.
　 　　\(\phi \left( z\right) =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left( -\dfrac{z^{2}}{2}\right)\)　　で表され標準正規分布といいます。

参考：ヒストグラムの階級幅を半分にすると確率は半分になり、ヒストグラムの高さは半分になってしまいます。階級幅を半分にしたらヒストグラムの高さを２倍にするとグラフの形状が1つの関数に近づきます。

テキスト p38 によれば.

  • 自然現象、社会現象の多くは正規分布に従う。
  • データが多数の場合、多くの分布は正規分布で近似される.

実際には p36 にあるように様々な確率分布があります。データが正規分布に従うかどうか検定する方法は §14 で学習します。

正規近似については、 §9 の中心極限定理で関連事項を学びます。
中心極限定理は、「標本平均は標本数が大きければ近似的に正規分布に従う」というものです。
（参考：標本抽出と中心極限定理）

この章では、データは正規分布に従うものとして学習を進めます。

標準正規分布に従う確率変数は Z で表します。
標準正規分布表を用いて確率計算ができます。

1 標準正規分布表.

1.1 よく冷える冷蔵庫.

あるメーカーの冷蔵庫１万台について冷蔵庫内の温度を調査したところ 平均 \(\mu=0\)、標準偏差 \(\sigma=1\) であった。今度、自分でそのメーカーの冷蔵庫を買うことになったが、自分の買う冷蔵庫の庫内温度について、次の確率をテキストp121 の標準正規分布表を利用して求めよ。

  • \(P(0<Z<1.23)\). 　
    　
  • \(P(1.32<Z)\).
    　
    　
  • \(P(-0.92<Z<1.15)\).
    　
    　
  • \(P(1.23<Z<1.96)\).
    　
    　
  • \(P(|Z|<1.96)\).
    　

1.2 標準化.

  • 平均を引くと、平均０の分布になります.
  • さらに標準偏差で割ると、平均０、標準偏差１の分布になります.
    （３章 分散を参照）.

標準化　\(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\) は X を平行移動し縮小する操作であり、度数や確率を変えるわけではありません。標準化は正規分布に限らず、どんな分布にも適用可能です。

例えば、\(x=2,6\) は \(x=4\pm2\) であり、平均４,標準偏差２です。

  • 平均を引くと、\(x-4=-2,2\) で平均は０となり.
  • 標準偏差で割ると、\(\dfrac{x-4}{2}=-1,1\) で平均０,標準偏差１になります.

1.2.1 　

\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)　のとき次の確率を標準正規分布表を利用して求めよ.

  • \(P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\).
    　
    　
  • \(P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\).
    　
    　
  • \(P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)\).
    　

1.2.2 例(p39)　

\(X\sim N(116.5,(5.0)^2)\)　のとき 次の確率を標準正規分布表を利用して求めよ.

  • \(P(112.0<X<120.9)\).
    　
    　

2 例題６.

\(X\sim N(70.0,(20.0)^2)\)　のとき.

  • \(P(75<X<85)\) を標準正規分布表を利用して求めなさい.
    （標準化して確率を求め、総人数を乗ずれば求まります）.

　
　

  • 上位１０万人目の境界得点を求めなさい.
    （\(P(a<Z)=0.26\) を満たす\(a\)が分かれば、 \(Z=\dfrac{X-70}{20}\) から求まります)

　

　

2.1 シミュレーション.

2.1.1 rnorm.

乱数によるシミュレーションを行います. sort関数で降順に並べれば、10万番目のデータはすぐ分かります.

x <- rnorm(384818,mean=70,sd=20)
sort(x,decreasing=T)[100000]
## [1] 82.89885

2.1.2 sum.

条件を満たすものをカウントします.

sum(x < 85)-sum(x < 75)
## [1] 67451
(sum(x < 85)-sum(x < 75))/384818
## [1] 0.1752803

2.1.3 標準化.

中央が０になるよう平行移動されます.

hist(x-70)

標準偏差が１になるよう、横幅が圧縮されます.

hist((x-70)/20)

理論上の正規分布関数を書き加えます.

hist((x-70)/20,prob=T)
curve(dnorm(x, mean=0, sd=1),xlim=c(-4,4),add=T)

標準化によって、\(\phi \left( z\right) =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left( -\dfrac{z^{2}}{2}\right)\)　のグラフにほぼ一致することが分かります.

3 演習６.

\(X\sim N(124.2,(42.1)^2)\)　のとき.

  • \(P(100<X<140)\) を標準正規分布表を利用して求めなさい.
    （標準化して確率を求め、総人数を乗ずれば求まります）.

　
　

  • 上位１０万人目の境界得点を求めなさい.
    （\(P(a<Z)=0.192\) を満たす\(a\)が分かれば、 \(Z=\dfrac{X-124.2}{42.1}\) から求まります)