1 復元抽出と非復原抽出

標本抽出の目的は、母集団の状況をできるだけ正確に復元推計することです。
平均・分散・分布の形状などが、少数の標本から正確に推定できれば、調査が大幅に省力化されます。
　　「標本というスモールデータから母集団というビッグデータを捉える」
これが標本抽出の目的といえます。

非復元抽出
母集団から1個抽出する試行を繰り返すとき、同じものを選ばない方法を非復元抽出と言います。母集団からまとめて標本を抽出する操作は、非復元抽出と同等です。
同じものを選ぶことができないため、抽出確率は前の抽出結果に影響されます。
また、母集団より要素の多い標本を作ることはできません。
同じ条件で選ぶことができないため、確率的扱いは難しくなります。

復元抽出
母集団から1個抽出する試行を繰り返すとき、選んだものを元に戻して抽出を繰り返す方法を復元抽出と言います。 無限回の抽出が可能であり、同じ条件で抽出ができます。
復元抽出によって得られる値は確率変数であり、母集団と同等の確率分布を持ちます。
復元抽出は確率的に扱うことが容易です。

ここでは反復抽出に絞り、標本から母集団の推計が可能かどうかシミュレーションで確かめます。

自販機の喩え
目の前に自販機があります。この自販機を母集団と思ってください。
あなたは自販機に何が入っているか知りません。
ボタンが一つだけあり、押すと値がひとつ出てきます。
まとめ買いモードもあります。
１０個のまとめ買いモードでボタンを１回押すと、１０個の値が袋に入って出てきます。
この１０個入った袋が標本です。
あなたは標本から、自販機の機械の中身という母集団を当てなければなりません。
あなたは１回だけボタンを押すことが許されています。
これが標本調査です。

2 離散型母集団

離散型は整数の値をとる母集団です。 サイコロの目は離散型母集団です。
コインも、表を１、裏を０と考えれば離散型です。
一般に、離散型の母集団は
　　　\(U=\{1,2,3, \cdots ,N\}\)　と表すことができます。
等確率のとき
母集団の期待値と分散は、
　　　\(E(X)=\frac{N+1}{2}~~~~~V(X)=\frac{N^2-1}{12}\) によって計算されます。
期待値と分散については、当サイト記述統計と推測統計 を参照してください。

母集団が \(A=\{1,2,3\}\) のとき、反復抽出で抽出した100個の標本をX とし、標本Xと母集団Aのヒストグラムを比べます。

A=c(1,2,3)#母集団
X <- sample(A, size = 100, replace = TRUE)#標本
par(mfrow = c(1, 2))#グラフを２つ並べる
hist(X,prob=T,breaks=c(0,1,2,3))#breaksは値の区切り
hist(A,prob=T,breaks=c(0,1,2,3))

sum((X-mean(X))^2)/100;sum((A-mean(A))^2)/3#標本分散
## [1] 0.76
## [1] 0.6666667

復元抽出で得られたXは確率変数であり、ヒストグラムも変動します。

標本のsizeを20,50,100,200 と変えてみましょう。いくつくらいにすると結果は安定するでしょうか？

par(mfrow = c(2, 2))#グラフを4つ並べる
X20 <- sample(A, size = 20, replace = TRUE)#標本
hist(X20,prob=T,breaks=c(0,1,2,3))#breaksは値の区切り
X50 <- sample(A, size = 50, replace = TRUE)#標本
hist(X50,prob=T,breaks=c(0,1,2,3))#breaksは値の区切り
X100 <- sample(A, size = 100, replace = TRUE)#標本
hist(X100,prob=T,breaks=c(0,1,2,3))#breaksは値の区切り
X200 <- sample(A, size = 200, replace = TRUE)#標本
hist(X200,prob=T,breaks=c(0,1,2,3))#breaksは値の区切り

このようにある程度のサンプル数があれば、調査結果は安定することがわかります。

2.1 等確率でないとき

母集団の分布が等確率でなく偏っているとき、標本の分布はどうなるでしょうか。

A=c(1,2,3,3,3)
X <- sample(A, size = 100, replace = TRUE)
par(mfrow = c(1, 2))
hist(X,prob=T,breaks=c(0,1,2,3))
hist(A,prob=T,breaks=c(0,1,2,3))

sum((X-mean(X))^2)/100;sum((A-mean(A))^2)/5#標本分散
## [1] 0.5836
## [1] 0.64
mean(X);mean(A)#平均
## [1] 2.42
## [1] 2.4

標本の分布は母集団の分布とよく似たものとなり、平均や分散も近い値になります。

3 連続分布

3.1 正規分布

自然界のデータは正規分布に従うことが多いと言われています。
母集団Aは 平均３、標準偏差１の正規分布に従う30000個のデータであるとします。100個の標本のデータXを調べれば母集団の状況がわかると言えるでしょうか。

A=rnorm(30000,3,1)
X <- sample(A, size = 100, replace = TRUE)
par(mfrow = c(1, 2))
hist(X,prob=T,xlim=c(0,6),ylim=c(0,0.5))
hist(A,prob=T,xlim=c(0,6),ylim=c(0,0.5))

mean(X);mean(A)
## [1] 3.11051
## [1] 3.002413
var(X);var(A)
## [1] 1.118778
## [1] 0.9941648

分布の形状はよく似ていますが完全に一致しているわけではありません。
平均や分散も近い値になっていますが、少しのずれが生じています。

3.2 ポアソン分布

サッカーの１試合の得点は ポアソン分布に従うと言われています。
母集団Aは3000試合の得点であるとします。このうち100試合を抽出した標本Xから母集団の傾向を把握することができるでしょうか。

A=rpois(3000, 1)
X <- sample(A, size = 100, replace = TRUE)
par(mfrow = c(1, 2))
hist(X,prob=T)
hist(A,prob=T)

mean(X);mean(A)
## [1] 1.01
## [1] 1.011333
var(X);var(A)
## [1] 1.100909
## [1] 1.028881

4 課題演習

いくつかの例で分布の形状と、平均の違いを見ておきます。

4.1 サイコロ

A=(1,2,3,4,5,6) はサイコロの目である。
サイコロを１回振るという試行は確率変数Xを生み出す。
Aから１個を復元抽出すると、確率変数Xが得られる。
従って、復元抽出は試行であり確率変数を生み出す。

抽出によって要素が減ることなく、同じ条件で無限回抽出ができるので確率変数になる。

サイコロの目の抽出という試行を1000回繰り返します。
自販機という母集団には、１から６までの数字が同じ割合で無限個入っています。
左は標本のヒストグラム、右は母集団のヒストグラムです。

A=c(1,2,3,4,5,6)
X <- sample(A, size = 100, replace = TRUE)
par(mfrow = c(1, 2))
hist(X,prob=T,breaks=c(0,1,2,3,4,5,6,7))
hist(A,prob=T,breaks=c(0,1,2,3,4,5,6,7))

mean(X);mean(A)
## [1] 3.46
## [1] 3.5

4.2 偏ったサイコロ

A=c(1,2,3,4,5,6,5,6,5,6)
X <- sample(A, size = 100, replace = TRUE)
par(mfrow = c(1, 2))
hist(X,prob=T,breaks=c(0,1,2,3,4,5,6,7))
hist(A,prob=T,breaks=c(0,1,2,3,4,5,6,7))

mean(X);mean(A)
## [1] 4.35
## [1] 4.3

4.3 平均３ 標準偏差１の正規分布

母集団は30000個ですが、サンプル数を変えてシミュレーションします。

4.3.1 サンプル数1000

A=rnorm(30000,3,1)
X <- sample(A, size = 1000, replace = TRUE)
par(mfrow = c(1, 2))
hist(X,prob=T,xlim=c(0,6),breaks="scott")
hist(A,prob=T,xlim=c(0,6),breaks="scott")

mean(X);mean(A)
## [1] 2.993305
## [1] 2.9941

4.3.2 サンプル数100

A=rnorm(30000,3,1)
X <- sample(A, size = 100, replace = TRUE)
par(mfrow = c(1, 2))
hist(X,prob=T,xlim=c(0,6),breaks="scott")
hist(A,prob=T,xlim=c(0,6),breaks="scott")

mean(X);mean(A)
## [1] 2.853789
## [1] 2.997921

標本の平均と母集団の平均には少しのズレが生じています。
サンプル数100のときよりも、サンプル数1000のときのずれは小さくなっています。何か理由があるのでしょうか？

次回は、この標本平均の変動について考えてみたいと思います。