hyoccori-toukei

相関行列から主成分分析

中学2年生の成績データ 標本数 : 166

変数の数 : 科目数=9 国語、社会、数学、理科、音楽、英語、体育、技家、英語

主成分分析を行う関数は、prcomp である。

> result <- prcomp(seiseki, scale=T) #scale=Tは相関行列から分析

> summary(result)

	PC1	PC2	PC3	PC4	PC5	PC6	PC7	PC8	PC9
Standard deviation	2.4508	1.0479	0.7006	0.63795	0.54796	0.47059	0.42754	0.41376	0.34909
Proportion of Variance	0.6674	0.122	0.05454	0.04522	0.03336	0.02461	0.02031	0.01902	0.01354
Cumulative Proportion	0.6674	0.7894	0.84394	0.88916	0.92252	0.94713	0.96744	0.98646	1
Variance	6.006	1.098	0.491	0.407	0.3	0.221	0.183	0.171	0.122

Standard deviation は主成分の標準偏差、平方すれば分散になり固有値に一致。

Proportion of Variance は寄与率、Cumulative Proportion　は累積寄与率

> result$value 　固有値

[1]

6.01

1.1

0.49

0.41

0.3

0.22

0.18

0.17

0.12

result$rotation 　　固有ベクトル(主成分軸の係数)

	PC1	PC2	PC3	PC4	PC5	PC6	PC7	PC8	PC9
kokugo	0.363	-0.149	0.074	-0.236	0.301	-0.494	0.62	0.11	-0.231
shakai	0.369	0.147	-0.062	-0.107	0.087	-0.573	-0.517	-0.235	0.412
sugaku	0.357	0.181	-0.4	0.029	0.061	0.408	0.409	-0.446	0.377
rika	0.367	0.251	0.008	0.067	-0.262	0.039	-0.177	-0.392	-0.736
ongaku	0.354	-0.01	-0.2	0.357	-0.642	-0.132	0.119	0.495	0.133
bijutu	0.313	-0.312	0.264	0.712	0.44	0.136	-0.125	0.002	-0.003
taiiku	0.139	-0.859	-0.08	-0.284	-0.269	0.107	-0.128	-0.235	0.007
gika	0.317	0.149	0.784	-0.293	-0.19	0.287	0.042	0.062	0.231
eigo	0.357	0.047	-0.317	-0.355	0.338	0.361	-0.32	0.525	-0.146

result$rotation は、固有ベクトルを列ベクトルとする直交行列の成分である。

第１列ベクトルは、第１主成分を求める係数である。

　　　　　PC1=0.363(国語)+0.369(社会)+ ‥ +0.357(英語)

今、相関行列から主成分分析を行っているので、標準化した得点を代入しなければならない。

Rでは、関数scaleを用いて標準化した得点を求めることができる。

1番目の標準化得点は次のとおり。

> scale(seiseki)[1,]　標準化した得点

番号	kokugo	shakai	sugaku	rika	ongaku	bijutu	taiiku	gika	eigo
1	-1.023	0.158	0.222	0.613	0.772	0.206	-0.78	-0.147	-0.647

> result$rotation[,1]　第１主成分を求める係数

0.363

0.369

0.357

0.367

0.354

0.313

0.139

0.317

0.357

　　　　　PC1=0.363(-1.023)+0.369(0.158)+ ‥ +0.357(-0.647)= -0.056414958

少数第４位以下を四捨五入すると　-0.06 となる。

Rを用いて算出した結果は次のとおりである。

>head(result$x)#主成分得点

	PC1	PC2	PC3	PC4	PC5	PC6	PC7	PC8	PC9
[1,]	-0.06	0.92	-0.12	1.19	-0.83	0.1	-0.37	-0.27	0.09
[2,]	0.15	0	0.66	1.18	-1.24	0.69	0.44	0.21	0.06
[3,]	-0.54	0.54	0.96	1.85	-1.09	-0.05	-0.34	0.5	-0.16
[4,]	5.11	0.23	0.63	-0.58	-0.29	-0.37	-0.3	-0.24	-0.31
[5,]	2.64	0.66	0.01	0.88	-0.05	-0.46	0.2	-0.29	0.63
[6,]	1.69	-0.33	0.49	0.29	-0.3	-0.2	0.14	-0.1	0.18

これは、標準化したデータと主成分係数の内積で算出されている。