ヘロンの発見
での作図と探究、どんな発見がありましたか？
もし、まだ作図をしていなければ、前ページに戻って作図と考察を重ねることをお勧めします。
ドラマを見るのに結末が見えていたら面白さは半減してしまいます。
内容そのものに新しいことはなく、他のサイト様でも丁寧な説明があります。
自分の気づきがあるから面白いのです。
まず前ページ課題の確認をします。
課題１では
直角三角形は６個、種類は３個、
長さが整数である辺の長さは、4 , 2 , 3
チャレンジは、3辺をたして２で割ったものから、各辺を引いたものになっていないでしょうか。
面積は、S=9r と表されます。
課題２では（課題１の個数とあわせて）
直角三角形は12個、種類は３個、
長さが整数である辺の長さは、4 , 2 , 3 , 9 です。
チャレンジは、9は 3辺をたして２で割ったものになっていないでしょうか。
面積は、S=4Ra と表されます。（Raは傍接円の半径、aは添字です）
課題３では、筆者は実際に作図して驚きました。
内接円と底辺の接点が方眼の格子点なのです。
なぜだろう？
それが、このページをつくるきっかけとなった出来事です。
直角三角形の種類が増えないことも驚きでした。
課題４
9r=4・Ra 、 r・Ra=2・3
これは直角三角形どうしの相似から得られますが、
課題２の辺の長さ「4 , 2 , 3 , 9」が関係していることは驚きです。
連立方程式を解くと、
さて公式化のため、これまで分かったことを文字式を用いて整理しておきましょう。
３つの部品
作図すると、三角形ABCの３辺は３つの部品からできていることが分かります。
Aから内接円に引いた接線の長さx
Bから内接円に引いた接線の長さy
Cから内接円に引いた接線の長さz
このx,y,z が３つの部品であり、
a=y+z , b=z+x , c=x+y であることが分かります。
そして、
頂点Aから対辺BCに接する傍接円に引いた接線の長さはどうなっていますか？
作図で確認すると、x+y+z となっていることが分かります。
３つの部品の合計 x+y+z=s と置くことがそれほど不自然ではないでしょう。
三角形ABCの頂点から対辺の傍接円に引いた接線の長さは、すべて s になります。
課題１では
直角三角形は６個、種類は３個、
長さが整数である辺の長さは、s-a , s-b , s-c になっていないでしょうか。
面積は S=r・s となります。
課題２では（課題１の個数とあわせて）
長さが整数である辺の長さは、s-a , s-b , s-c , s
面積は、S=(s-a)・Ra となります。
課題３では、
傍接円側の直角三角形と内接円側の直角三角形の相似から、
S=Ra・(s-a) , S=Rb・(s-b) , S=Rc・(s-c)
課題４では、
長さsを辺に持つ直角三角形との相似から、r・s=Ra・(s-a)
傍接円側の直角三角形と内接円側の直角三角形の相似から、r・Ra=(s-b)・(s-c)
公式まであと少し
上の２式を辺々かける、辺々割るなどすると
が得られます。
ここから、ヘロンの公式が導かれます。
（第２式から導くこともできます）
最後に、ヘロンの2000年の重みに敬意を表します。
筆者は、理解するのに40年以上かかりました。