能力は間隔尺度であり、原点と尺度は任意に決めることができる。
能力を標準化した数値を学力とすれば、平均と標準偏差によって学力は一意に定まる。能力の平均が原点、標準偏差が尺度に相当する。
平均と標準偏差を一次式で変換することにより等化を行うことが可能になる。
正答確率は、尺度の設定に依存しない。この性質を尺度の不定性という。
尺度の不定性.
詳しくはRによる項目反応理論
(p244)参照.
\(P_j(\theta_{jF})=\left. 1 \right/
\left[1+\exp\left(-Da_{jF}(\theta_{jF}-b_{jF})\right)\right]=\left. 1
\right/ \left[1+\exp\left(-D\dfrac{a_{jF}}{A}(A\theta_{jF}-A
b_{jF})\right)\right]\).
\(P_j(\theta_{jF})=\left. 1 \right/
\left[1+\exp\left(-D\dfrac{a_{jF}}{A}(A\theta_{jF}+K-K-A
b_{jF})\right)\right]=\left. 1 \right/
\left[1+\exp\left(-D\dfrac{a_{jF}}{A}(\theta_{jT}-(K+A
b_{jF})\right)\right] \).
\(a_{jT}=\dfrac{a_{jF}}{A}~~~~b_{jT}=K+Ab_{jF}\) とおくことにより、
\(P_j(\theta_{jF})=\dfrac{1}{ \left[1+\exp\left(-D a_{jT}(\theta_{jT}-b_{jT}\right)\right]}=P_j(\theta_{jT}) \).
正答確率は保たれる。これを尺度の不定性という。
以下に補足事項を記す。
間隔尺度とは、順序尺度に加えて、数字の間に等しい距離がある尺度です。
この尺度では、データにつけた数字は、そのデータがどのくらい離れているかを示します。しかし、ゼロという数字は特別な意味を持たないので、数字の比率は計算できません。
例えば、次のようなデータは間隔尺度です。
２４時が１２時の２倍、という数値計算に意味はありませんが、
間隔をとって、４時間は２時間の２倍、という計算には意味があります。
このように、０が決まっていて、間隔の比率に意味があるデータは間隔尺度にあてはまります。
確率・統計の基本を理解したい 様 「データの区分（尺度水準）」.
重さ、経過時間のようにゼロ０が「何もない」ことを意味する数値を扱う尺度で、身長計、ストップウォッチなどがこれにあたる.
ゼロ０という絶対的原点からの距離が何倍か、と比較することに意味がある。例）80kgは、40kgの2倍の重さ.
足し算、引き算、掛け算、割り算すべて可能である。 変数変換は、定数倍のみ許される（何倍かの関係が保たれる）.
温度や西暦年のようにゼロ０が「何もない」ことを意味するわけではない数値を扱う尺度で、温度計がこれにあたる.
目盛りは等間隔であり、数値の差に意味がある。 例）10℃と5℃の差は、20℃と15℃の差と同じ熱量.
足し算、引き算が可能である.
変数変換は、定数倍と線形変換(𝑎𝑥+𝑏)が許される.
（等間隔性が保たれる）.
テストが０点だからといって、生徒の学力が０ということではない。
そのテストの尺度では０に位置していたということであり、そのテストでは生徒の学力を測定できなかったということである。
異なる集団の項目パラメータ・能力パラメータを比較するには、尺度を揃える必要がある。基準とする共通尺度を決めその尺度に等化することで、異なる集団の比較が可能になる。
共通尺度を定める集団を基準集団という。基準集団は、そのテストが想定する受験者母集団を代表するよう設定する。
等化を行うことにより、
F社の作成したテスト、T社の作成したテストがある。
集団Aが２つのテストを受けたとき、それぞれのテストでの集団Aの能力パラメータを
母平均： \(\mu_{\theta F},~\mu_{\theta
T}\) 母標準偏差：\(\sigma_{\theta
F},~\sigma_{\theta T}\) とするとき
\(\dfrac{\theta_{iF}-\mu_{\theta F}}{\sigma_{\theta F}}=\dfrac{\theta_{iT}-\mu_{\theta T}}{\sigma_{\theta T}}\).
\(A=\dfrac{\sigma_{\theta
T}}{\sigma_{\theta F}}~,~~K=\mu_{\theta T}-A\mu_{\theta F}\)
とおくと、 \(\theta_{iT}=A
\theta_{iF}+K\).
（A,Kを等化係数という）.
この変換式はIRTであろうとなかろうと成立するが、
IRTにおいては尺度の不定性により各項目の正当確率が変わらないまま維持される。
パラメータは受験集団に依存する。
基準とするTの能力パラメーターが \(N(0,1)\) に従うとすると、
\(A=\dfrac{1}{\sigma_{\theta
F}}~,~~K=-\dfrac{\mu_{\theta F}}{\sigma_{\theta F}}\) \(\theta_{iT}=\dfrac{\theta_{iF}-\mu_{\theta
F}}{\sigma_{\theta F}}\).
等化は標準化と変わらない。
これは、IRTの学力が正規分布となっていることによると思う。
データ集団の能力パラメータの平均・分散を固定すれば、項目パラメータが決まり、能力が一位に定まる。
私見.
能力パラメータの平均・分散を適切に変換すれば、異なる集団や試験での比較が可能になるのではと思う。
等化係数は能力の標準偏差と平均にのみ依存している。
能力パラメータの標準化に由来する.
\(\mu_{\theta T}=A \mu_{\theta
F}+K\)
\(\sigma_{\theta T}=A \sigma_{\theta
F}\) \(\therefore A=\sigma_{\theta
T}/\sigma_{\theta F}\)
（Mean-Sigma法）
困難度は能力パラメータと同一尺度上の数値であることに由来する.
\(\mu_{b T}=A \mu_{b F}+K\)
\(\sigma_{b T}=A \sigma_{b
F}\) \(\therefore A=\sigma_{b
T}/\sigma_{b F}\)
（Mean-Mean法）
\(\mu_{a T}=\mu_{a F}/A\)
\(\therefore A=\mu_{a F}/\mu_{a
T}\)
\(\mu_{b T}=A \mu_{b F}+K\)
から \(K=\mu_{b T}-A \mu_{b
F}\)
＜まとめ＞
等化係数を定めれば、
\(a_{jT}=\dfrac{a_{jF}}{A}~~~~b_{jT}=K+Ab_{jF}~~~~~\theta_{iT}=A
\theta_{iF}+K\).
によって、Fにおける項目パラメータ及び能力パラメータを、Tにおけるものに変換できる。
共通項目があるとき、
共通項目困難度の標準偏差（Sigma）の比を求める方法.
pm <- read.csv("data/comitem.csv")
head(pm)| Ta | Tb | Fa | Fb |
|---|---|---|---|
| 1.427 | 2.302 | 1.775 | 1.480 |
| 1.519 | 0.859 | 1.782 | 0.306 |
| 1.134 | 0.496 | 1.357 | -0.047 |
| 0.956 | -0.557 | 1.071 | -0.918 |
| 0.917 | -2.568 | 1.152 | -2.554 |
| 1.260 | -0.513 | 1.521 | -0.787 |
#列標準偏差
apply(pm, 2, sd)## Ta Tb Fa Fb
## 0.2385394 1.1978348 0.2937216 0.9881327#列平均
apply(pm, 2, mean)## Ta Tb Fa Fb
## 1.10642857 0.47564286 1.31792857 -0.02764286等化係数を求めるには.
両者の方法では、分母と分子が逆になるので注意。
困難度の標準偏差Sigma.
(Tm <- mean(pm[,2]))#Tの困難度の平均## [1] 0.4756429(Ts <- sqrt(mean((pm[,2]-Tm)^2)))#Tの困難度の標準偏差## [1] 1.154263(Fm <- mean(pm[,4]))#Fの困難度の平均## [1] -0.02764286(Fs <- sqrt(mean((pm[,4]-Fm)^2)))#Fの困難度の標準偏差## [1] 0.9521885等化係数.
(A <- Ts/Fs)#困難度の標準偏差の商## [1] 1.212221(K <- Tm - (Fm*A))## [1] 0.5091521困難度の標準偏差の商(Mean-Sigma法).
apply(pm, 2, sd)[2]/apply(pm, 2, sd)[4]## Tb
## 1.212221識別力の平均の商(Mean-Mean法).
apply(pm, 2, mean)[3]/apply(pm, 2, mean)[1]## Fa
## 1.191156どちらの方法でも値はほぼ一致する。（p268参照）.
共通受験者計画.
共通項目計画.
係留テスト計画.
Mean & Sigma 法.
Mean & Mean 法.
特性曲線変換法.
（Stocking &Lord の方法）.
Haebraの方法.
plinkパッケージでは、これらの方法による推定値が出力される。
（第14章
Rによる等化 参照）