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項目反応理論

［参考資料］滋賀大学 奥村太一 様 （奥村先生の資料は現在見ることはできません）

学力は潜在変数であり \(\theta\) で表す。

学力 \(\theta\) の解答者が項目 \(i\) に正解する確率は、

　　　　　\(P_i\left( \theta \right) =c_i+\dfrac{1-c_i}{\left( 1+\exp \left[ -Da_{i}\left(\theta -b_{i}\right) \right] \right) }\) 　項目反応関数（Item Response Function）

　　 \(a_i\) は識別力（能力の違いをより敏感に識別）
　 　\(b_i\) は困難度（項目に正答できるかできないか五分五分に必要な能力値）
　 　\(c_i\) はあて推量で正解する確率

この関数の描く曲線を項目特性曲線という。

\(D\) は尺度因子で、 \(D=1.7\) なら正規累積分布を用いた項目特性曲線に近くなる。

［項目特性曲線］（Item Characteristic Curve）

項目特性曲線を描くことで、項目の困難度や識別力の特徴を視覚的に把握することができる。

能力パラメーターθは学力を表す因子。１因子の因子分析である。

パラメータの数は３個から１個である。（当サイト「項目反応理論の考え方」参照）

２パラメータの場合を考えよう。

　　　　　\(P_i\left( \theta \right) =\dfrac{1}{ 1+\exp \left[ -1.7a_{i}\left(\theta -b_{i}\right) \right] }\)

　 \(a_i\) は識別力（接線の傾き）
　 \(b_i\) は困難度（難度が増加するとグラフは右へ移動）

確率変数 \(x_i=0,1\) ：項目 \(i\) に対する反応結果を表し \(x_i\) は独立とする。

反応 \((x_1,x_2,\cdots,x_n)\) が与えられたとき、学力 \(\theta\) を最尤法により推定する。

項目 \(i\) への反応が \(x_i\) である確率は、

　　　　　\(P(x_i|\theta)=P_i(\theta)^{x_i}\left(1-P_i(\theta)\right)^{1-x_i}\)

\(n\) 項目について反応 \((x_1,x_2,\cdots,x_n)\) が得られる確率は、

　　　　　\(\displaystyle P(x|\theta)=\prod_{i=1}^{n} P_i(\theta)^{x_i}\left(1-P_i(\theta)\right)^{1-x_i}\)

\(P(x|\theta)\) を最大にする \(\theta\) が最尤推定値である。

実際の計算は、R などの統計ソフトによって求めることができる。

（当サイト「Rによる項目反応理論」参照）

項目情報関数（Item Information Function）

　　　　　\(f_i(\theta)=a_i^2P_i(\theta)(1-P_i(\theta))\)

学力 \(\theta\) の推定精度を表し、大きい程よいといわれる。

式の持つ意味を考えてみよう。

全員が解ける問題や誰も解けない問題は、学力測定として意味をなさないので除外される。

つまり、問題の情報量は、解ける確率 \(P_i(\theta)=0.5\) のとき最大になると考えるのが自然である。

上記の \(f_i(\theta)\) は \(P_i(\theta)\) の二次関数であり、\(P_i(\theta)=0.5\) のとき最大となるので、問題の情報量を与える関数として適切と考えられる。

また、 \(P_i(\theta)=0.5\) となるのは、項目特性曲線で \(\theta=b_i\) (困難度)のときであるので、項目情報関数 \(f_i(\theta)\) も \(\theta=b_i\) (困難度)で最大となる。

識別力 \(a_i\) が大きいほど、\(f_i(\theta)\) の最大値は大きい。

テスト情報関数（Test Information Function）

テスト情報関数は単純にその試験における各項目の項目情報関数の和で求められる。

この関数は、どの \(\theta\) に対してテストが有効に識別するかを示している。

両端での関数の値は０であり、学力の高すぎる生徒、低すぎる生徒にはテストが意味をなさないことが分かる。

（テスト情報関数は、古典的なテスト理論における信頼性の概念を置き換えるものになる）