確率収束と分布収束の違いを理解することが重要である。
高校数学の美しい物語 様
大数の法則と中心極限定理の意味と関係 https://manabitimes.jp/math/1104
二項分布の正規近似(ラプラスの定理) https://manabitimes.jp/math/1107
確率収束と分布収束
確率変数 X1,X2,⋯,Xn が独立で同じ平均 μ と分散 σ2 を持つとき、
標本平均 ¯X は μ に確率収束し、かつ N(μ,σ2n) に分布収束する。
即ち、 X1,X2,⋯,Xn;i.i.d.∼(μ,σ2):σ2<+∞ のとき、 ¯X→μ (確率収束)
これは、 V(¯X)=σ2n であることと対応している。
また、 limn→∞P(¯X≤x)=∫x−∞1√2πσexp[−12(y−μσ)2]dy (分布収束)
これは、中心極限定理である。
[二項分布の場合]
2つの実験による結果 X,Y が等確率かどうか考える。
X1,X2,⋯,Xn;i.i.d.∼Ber(p) 独立にベルヌーイ分布に従うとする。 E(Xi)=p,V(Xi)=p(1−p)
¯X=X1+X2+⋯+Xnn→p (確率収束) :分子は二項分布に従う
確率収束すれば分布収束するので、次のように書ける。
¯X→N(p,p(1−p)n) (分布収束) :正規分布に収束する
E(¯X)=p 、V(¯X)=p(1−p)n : ¯Xは相対度数
Y1,Y2,⋯,Ym;i.i.d.∼Ber(p) 独立にベルヌーイ分布に従うとき、E(Yj)=p,V(Yj)=p(1−p)
¯Y=Y1+Y2+⋯+Ymm→p (確率収束) :分子は二項分布に従う
E(¯Y)=p 、V(¯Y)=p(1−p)m : ¯Yは相対度数
X1,X2,⋯,Xn:Y1,Y2,⋯,Ym は独立だから、¯X,¯Y も独立で、
E(¯X−¯Y)=0 、V(¯X−¯Y)=p(1−p)n+p(1−p)m
¯X→N(p,p(1−p)n) 、¯Y→N(p,p(1−p)m) だから、正規分布の再生性より
¯X−¯Y→N(0,p(1−p)n+p(1−p)m)
これは2群の比率の同等性の近似検定に利用される。
[まとめ]
・大数法則と中心極限定理を区別する。
・大数法則は確率変数の確率収束、中心極限定理は確率分布の分布収束である。
・標準化すれば、標準正規分布によるz検定
・標準化して2乗すれば、自由度1のカイ二乗検定
となり、四分表の検定につながる。(当サイト「分割表の解析」参照)
理論的な説明は、次のサイトを参考にした。
東京大学大学院農学生命科学研究科 大森宏 様 「分割表の解析について」
http://lbm.ab.a.u-tokyo.ac.jp/~omori/kokusai/inhp/kokuin02.html
『成功確率(比率)の同等性の近似検定』
東京大学工学部システム創成学科 様
https://ocw.u-tokyo.ac.jp/lecture_files/engin_05/3/notes/ja/ishikawa3.pdf