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大数法則と中心極限定理

確率収束と分布収束の違いを理解することが重要である。

高校数学の美しい物語 様
 大数の法則と中心極限定理の意味と関係  https://manabitimes.jp/math/1104
 二項分布の正規近似(ラプラスの定理)  https://manabitimes.jp/math/1107

大数法則と中心極限定理

確率収束と分布収束

確率変数 X1,X2,,Xn が独立で同じ平均 μ と分散 σ2 を持つとき、

     標本平均 ¯Xμ に確率収束し、かつ N(μ,σ2n) に分布収束する。

即ち、 X1,X2,,Xn;i.i.d.(μ,σ2):σ2<+ のとき、 ¯Xμ (確率収束)

     これは、 V(¯X)=σ2n であることと対応している。

また、 limnP(¯Xx)=x12πσexp[12(yμσ)2]dy  (分布収束)

     これは、中心極限定理である。

[二項分布の場合]

2つの実験による結果 X,Y が等確率かどうか考える。

X1,X2,,Xn;i.i.d.Ber(p) 独立にベルヌーイ分布に従うとする。 E(Xi)=p,V(Xi)=p(1p)

     ¯X=X1+X2++Xnnp    (確率収束) :分子は二項分布に従う

確率収束すれば分布収束するので、次のように書ける。

     ¯XN(p,p(1p)n)     (分布収束) :正規分布に収束する

     E(¯X)=p 、V(¯X)=p(1p)n     : ¯Xは相対度数

Y1,Y2,,Ym;i.i.d.Ber(p) 独立にベルヌーイ分布に従うとき、E(Yj)=p,V(Yj)=p(1p)

     ¯Y=Y1+Y2++Ymmp    (確率収束) :分子は二項分布に従う

     E(¯Y)=p 、V(¯Y)=p(1p)m     : ¯Yは相対度数

X1,X2,,Xn:Y1,Y2,,Ym は独立だから、¯X,¯Y  も独立で、

     E(¯X¯Y)=0 、V(¯X¯Y)=p(1p)n+p(1p)m

¯XN(p,p(1p)n) 、¯YN(p,p(1p)m)  だから、正規分布の再生性より

     ¯X¯YN(0,p(1p)n+p(1p)m)

これは2群の比率の同等性の近似検定に利用される。

[まとめ]
・大数法則と中心極限定理を区別する。
・大数法則は確率変数の確率収束、中心極限定理は確率分布の分布収束である。

・標準化すれば、標準正規分布によるz検定
・標準化して2乗すれば、自由度1のカイ二乗検定
となり、四分表の検定につながる。(当サイト「分割表の解析」参照)

理論的な説明は、次のサイトを参考にした。

東京大学大学院農学生命科学研究科 大森宏 様 「分割表の解析について」
     
http://lbm.ab.a.u-tokyo.ac.jp/~omori/kokusai/inhp/kokuin02.html
      『成功確率(比率)の同等性の近似検定』

東京大学工学部システム創成学科 様
      https://ocw.u-tokyo.ac.jp/lecture_files/engin_05/3/notes/ja/ishikawa3.pdf


 

 


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