確率変数からは数学Bの範囲になります。
確率変数は確率分布を持った値です。
100人の生徒の血圧を測定するとすれば、確率変数が100個あることになり、100人の平均も確率変数です。
1つ1つの確率変数は、それぞれの確率密度関数（ヒストグラムを曲線にしたもの）を持っています。
検査の結果得られた値は、そのとき測定された観測値であり、確率変数の実現値にすぎません。

以下で、ひょっこり統計の看護基礎「記述統計と推測統計」 から重要な部分を抜粋して説明します。

library(mvtnorm)
library(dplyr)

## 
## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

library(reshape2)
library(ggplot2)
library(ggsci)

検定や推定の理解の上で、もっとも重要なのは確率変数の理解です。
調査によって集めたデーターは確率変数ではありません。
それは、確率変数が出力した値です。
確率変数とは、データーを生み出す何かなのです。

あなた自身は確率変数です。
あなたが何か試行をするとき、ひとつのデーターが生み出されます。
同じ状況、同じ条件ならば、結果はいつも同じでしょうか？

結果は分布を伴った値です。

「今日正午の風速は x=5 です」とウェザーリポーターが言いました。
しかし、風速は刻々変化しています。
統計学を学んだリポーターなら「風速は x=5 (sd=2)」と言うかもしれません。
平均して風速５ですが、±２くらいの変動があるという意味になります。
急に突風が吹いて帽子を飛ばされるかもしれないので、用心しなければいけません。

1 連続型確率変数

那須の与一
あなたは弓の名手です。
的の一点に向かって矢を射込みます。
いつも的のど真ん中に命中するでしょうか？
この場合、
　　　確率変数　X = (矢が当たった座標).
ということになります。
Xは整数とは限らず実数なので、連続型確率変数と言います。

あなたが那須の与一のような弓の名手であったとしても、矢がいつも同じポイントに当たるとは限りません。
しかし、矢はそのポイントの近くに集中します。
その集中の仕方にその人の特徴が現れます。
その散らばり具合を X の確率分布といいます。

次の図はシュミュレーションです。扇の的ではなく数直線を的に、原点を狙って５０回矢を射込みました。

ど真ん中に命中とまではいかなくても、ほぼその近くに集まっていることがわかります。
０を中心に左右一寸（いっすん）の幅に集まり、３寸（３すん）はずれることはないといえます。
これをヒストグラムにしたものが、次の図です。

矢が、原点とその左右に集中している様子がよく分かります。

この図を、面積が確率を表すように修正してみます。

無限回の試行を想定したとき、この図がある関数式であらわされることを発見したのがガウスでした。

その関数のグラフは、

このグラフで表される分布を正規分布といいます。

この関数は、　　　\(\phi \left( z\right) =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left( -\dfrac{z^{2}}{2}\right)\)　　で表されます。
このグラフは、平均が０で標準偏差が１のもので、標準正規分布といいます。

2 離散型確率変数.

取りうる値が整数である確率変数を離散型確率変数といいます。
感染症の１日の発症者数・来院者数・電話の回数など、人数や回数は離散型です。

２枚のコインを投げたときの表の枚数は離散型確率変数で、.
理論上の確率分布は p29 にあるように、

階級	2	1	0
P	0.25	0.5	0.25

2.1 期待値と平均.

p9で平均値について説明され、p30では期待値（平均値）となっています。
慎重な言い回しですが、どういうことなのでしょうか？
§２の講義では、

平均は「値と確率をかけてたしたもの」と見ることができ、
平均は期待値と呼ばれる。
（期待値は、度数を重みとした加重平均になっている）

と説明しました。
つまり、
平均値を「値と確率をかけてたしたもの」と解釈することで一般化し、確率変数の期待値につなげたわけです。
よって、　期待値＝平均値　と考えて差し支えありません。

期待値の定義.
　　　\(m=x_1\cdot\dfrac{f_1}{N}+x_2\cdot \dfrac{f_2}{N}+\cdots+x_n\cdot\dfrac{f_n}{N}\).

期待値は値と確率の積の和
この定義で、表の枚数の期待値を計算すると、
　　　\(m=2\times 0.25+1\times0.5+0\times 0.25=1\)

期待値は確率を用いて計算した平均といえます。
乱数で平均を指定してデータを出力すると、データ平均は指定値に近い値になりますが、完全に一致することはありません。

2.2 二項乱数.

２枚のコインを投げる実験は、二項乱数rbinormでシミュレーションできます。
実験を100回行ったとすると、表の枚数 X は.

x <- rbinom(100, 2, 0.5)
x

##   [1] 2 1 2 0 1 0 1 0 1 2 2 2 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 2 1 1 2 2 0 1 2 1 0 0 1 2 1 1
##  [38] 2 2 0 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 0 1 2 1 1 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1
##  [75] 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 2 2 0 2 1 1 1 2 1 2 1 1

h <- hist(x,prob=T,breaks=seq(-0.5, 2.5, by = 1))

表の枚数は x=1 であることが多いことが分かります。

度数及び相対度数を表示すると、

table(x)## 度数分布表.

## x
##  0  1  2 
## 23 54 23

prop.table(table(x))## 相対度数分布表

## x
##    0    1    2 
## 0.23 0.54 0.23

この表の確率を用いて期待値を計算してください。
平均値mean()と同じ値になるはずです。

mean(x)

## [1] 1

3 確率変数の性質.

確率変数 \(x\) の期待値 \(E(x)\) について、

\(E(x_1+x_2)=E(x_1)+E(x_2)\).
\(E(kx_1)=kE(x_1)\).

例えば確率変数 \(x_1,x_2\) は国語,英語の点数だとします。
\(x_1+x_2\) は２科目の合計点ですが、期待値は平均なので、

２科目合計点の平均は、それぞれの平均点の和になり、
点数を k 倍すれば、平均点も k 倍になる.
ということを意味します。

確率変数 \(x\) の分散 \(V(x)\) について、
　\(\displaystyle V(X)=\dfrac{1}{n} \sum_1^n(x_i-m)^2\)　であるので　

\(V(kx)=k^2V(x)\).
は想像できますが、
\(V(x_1+x_2)=V(x_1)+V(x_2)\).
は \(x_1,x_2\) が独立の場合のみ成立します。
独立とは、互いに何の関係もなく値が出力されることです。

4 研究.

p33の参考は発展的ですが重要な公式が書かれています。
見ておいて損はないので、結果を見ておきましょう。

4.1 共分散と分散.

「第５章相関係数」では共分散を学びました。

共分散の定義は、偏差積の平均.
分散の定義は、偏差の二乗の平均.

分散 V( )と共分散 Cov( )のあいだには.

\(V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)\)　という関係があり、

独立のときは、\(Cov(X,Y)=0\) なので、
　　　\(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\)
　　　が成立します。

4.2 独立.

独立は確率変数に対して定義されます。
確率変数 x,y が独立とは、x,y が互いに何の関係もなく値が出力されることです。
出力されたデータに対しては独立という概念はありません。
無相関という状態の表現があります。

4.3 無相関と独立.

無相関とは相関係数 \(r(X,Y)=0\) のことで、点\((x,y)\)の配置が満遍なく分布していることをいい、直線 y=x から見た散らばりが均等であることを意味します。

無相関は x,y が独立という意味ではありません.
しかし、独立ならば x,y は無相関になります。

このことを正規乱数によるシミュレーションで見ておきましょう。

4.4 確率変数 x,y が独立のとき.

x,y は無関係なのですから、出力された x,y は満遍なく散らばっており、相関係数は０になります。つまり無相関です。
平均５, 標準偏差１の正規乱数を1000個ずつ出力し、x1,x2 とします。

x1 <- rnorm(1000,5,1)
x2 <- rnorm(1000,5,1)
plot(x1,x2,asp=1)
abline(a = 0, b = 1,col="blue")

round(cor(x1,x2),3)

## [1] -0.013

相関係数を小数点第３位まで求めた数値ですが、ほぼ０になっています。

4.5 確率変数 x,y が独立でないとき.

x,y に関数関係があって独立ではないのに、点は満遍なく配置されているため、結果的に無相関となる場合があります。

単位円上の点.

theta <- seq(-pi, pi, length=100)
x <- cos(theta)
y <- sin(theta)
plot(x, y, asp=1)
abline(a = 0, b = 1,col="blue")

round(cor(x,y),9)

## [1] 0

相関係数は０になり無相関ですが、x,y は独立ではありません。

5 演習５.

テキストの問題は、確率分布表から期待値と分散を求める問題です。
基本公式は、

期待値は値と確率の積の和.
\(\mu=E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n\)
分散は偏差の二乗の平均.
\(V(X)=(x_1-\mu)^2p_1+(x_2-\mu)^2 p_2+\cdots+(x_n-\mu)^2p_n\).

分散には別の公式があり、

分散＝平方の平均ー平均の平方.
\(V(X)=\left[x_1^2p_1+x_2^2p_2+\cdots+x_n^2p_n\right]-\mu^2\)
表を用いいるときは、こちらの公式がよく使われます。

演習５は(1)(2)(3)とありますが、ここでは計算しやすい (2)を扱います。

5.1 　

コインを３枚投げた表の枚数 X の確率分布表は次のようになります。

X	0	1	2	3
P	\(\frac{1}{8}\)	\(\frac{3}{8}\)	\(\frac{3}{8}\)	\(\frac{1}{8}\)

この表から、期待値と分散を計算しなさい。

data <- data.frame(x=c(0:3),y=c(1/8,3/8,3/8,1/8))
colnames(data) <-c("X","P")
library(ggplot2)
library(statip)
ggplot(data, aes(x=X, y=P),color = 3) + geom_bar(stat="identity")+geom_col(color = "grey60",fill="grey80")+theme_gray(base_family = "HiraKakuPro-W3") + coord_fixed((ratio=1))+ coord_fixed((ratio=5))

## Coordinate system already present. Adding new coordinate system, which will
## replace the existing one.

参考.
二項乱数rbinorm を用いたシミュレーション

x <- rbinom(100, 3, 0.5)
x

##   [1] 1 2 1 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 3 0 2 2 2 1 1 1 1 3 1
##  [38] 2 2 0 1 2 0 3 2 1 1 0 1 2 2 2 1 3 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 2 1 2 0 1 2 0 2 1 1
##  [75] 0 1 1 2 0 2 1 0 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 3 3 1

h <- hist(x,prob=T,breaks=seq(-0.5, 3.5, by = 1),right = F)

度数及び相対度数を表示すると、

table(x)## 度数分布表.

## x
##  0  1  2  3 
## 10 40 41  9

prop.table(table(x))## 相対度数分布表

## x
##    0    1    2    3 
## 0.10 0.40 0.41 0.09

この表の確率を用いて期待値を計算してください。
平均値mean()と同じ値になるはずです。

mean(x)

## [1] 1.49

6 例題５.

計算の分量が多いので割愛しました。こういうときは、シミュレーションで確かめることも重要です。
テキストは理論分布ですが、関数sample を用いてシミュレーションします。
sample(dice, size = 2) は、１から６の数字から2個の数字を選ぶ関数で、サイコロを２回振ることに相当します。2個のうち大きい方をXとするので、Xは大きくなる傾向があります。
この操作を10000回繰り返します。

dice <- 1:6
X <- c()
for(i in 1:10000){
  a= sample(dice, size = 2, replace = TRUE)
a
x <- max(a)
X <- c(X,x)
}
hist(X,xlim=c(0,7),breaks=seq(0.5, 6.5, by = 1))

6.1 度数分布表.

table(X)

## X
##    1    2    3    4    5    6 
##  270  810 1463 1942 2467 3048

6.2 確率表示.

prop.table(table(X))

## X
##      1      2      3      4      5      6 
## 0.0270 0.0810 0.1463 0.1942 0.2467 0.3048

1/36 #X=1となる確率の理論値

## [1] 0.02777778

X=1となる確率の理論値とシミュレーションで X=1 となった確率との間に誤差があることが読み取れます。

10000回のシミュレーションですら誤差があることは心に留めておく必要があります。

6.3 期待値と分散.

シミュレーションでの期待値と分散を関数で求めます。

mean(X)

## [1] 4.467

var(X)

## [1] 1.961307

varは(n-1)で割っているので、nで割るように修正します.

var(X)*9999/10000

## [1] 1.961111

実験回数が n=10000 と大きいので、修正分散と関数による分散は、ほぼ等しくなっています。

シミュレーションするごとに値は変化します。

第５章 確率変数