学習のまとめ１_解説
- 考査の内容は、「学習のまとめ１」の内容とその類題です。
テスト勉強は、このプリントで行うと効率的です。 - 平常点は、「授業プリント」の提出でみます。（考査当日に提出）.
授業で説明した箇所が書いてあるかどうかを評価します。
（授業で説明しなかった部分は空欄のままでよい）.
- GoogleColab の「ひょっこりノート」も提出してもらう予定です。
サイトのコードと文章をコピペして、各自のひょっこりノートを完成させておいてください。
1. 分散と標準偏差
(1) \(m=\dfrac{1+(-1)}{2}=0\) \(V=\dfrac{(1-0)^2+(-1-0)^2}{2}=1\)
(2) \(m=\dfrac{3+7}{2}=5\) \(V=\dfrac{(3-5)^2+(7-5)^2}{2}=4\)
(3) \(m=\dfrac{1+3+5}{3}=3\) \(V=\dfrac{(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2}{3}=\dfrac{8}{3}\)
2. 表による分散計算.
| 階級値 | 度数 | 階級値・度数 | 偏差 | 偏差平方・度数 |
|---|---|---|---|---|
| 30 | 5 | 150 | -20 | 2000 |
| 40 | 9 | 360 | -10 | 900 |
| 50 | 12 | 600 | 0 | 0 |
| 60 | 9 | 540 | 10 | 900 |
| 70 | 5 | 350 | 20 | 2000 |
| Total | 40 | 2000 | 5800 |
平均 \(m=\dfrac{2000}{40}=50\) 分散 \(V=\dfrac{5800}{40}=145\)
3. 相関係数.
\(r_{xy}
= \dfrac{\sum_{i = 1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}
{\sqrt{\sum_{i = 1}^n (x_i - \bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i = 1}^n (y_i -
\bar{y})^2}}\) を用いて相関係数を計算せよ。
(1) データ数２.
| \(x\) | \(y\) | \(x-\bar{x}\) | \(y-\bar{y}\) | \((x-\bar{x})(y-\bar{y})\) | \((x-\bar{x})^2\) | \((y-\bar{y})^2\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| -2 | 2 | -2 | 2 | -4 | 4 | 4 | |
| 2 | -2 | 2 | -2 | -4 | 4 | 4 | |
| 計 | 0 | 0 | 0 | 0 | -8 | 8 | 8 |
| 平均 | 0 | 0 | . |
\(r_{xy}=\dfrac{-8}{\sqrt{8}\sqrt{8}}=-1\)
(2) データ数３.
| \(x\) | \(y\) | \(x-\bar{x}\) | \(y-\bar{y}\) | \((x-\bar{x})(y-\bar{y})\) | \((x-\bar{x})^2\) | \((y-\bar{y})^2\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 4 | -4 | -1 | 4 | 16 | 1 | |
| 7 | 3 | 1 | -2 | -2 | 1 | 4 | |
| 9 | 8 | 3 | 3 | 9 | 9 | 9 | |
| 計 | 18 | 15 | 0 | 0 | 11 | 26 | 14 |
| 平均 | 6 | 5 | . |
\(r_{xy}=\dfrac{11}{\sqrt{26}\sqrt{14}}=0.5766\)
(3) データ数５.
| \(x\) | \(y\) | \(x-\bar{x}\) | \(y-\bar{y}\) | \((x-\bar{x})(y-\bar{y})\) | \((x-\bar{x})^2\) | \((y-\bar{y})^2\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | -5 | -5 | 25 | 25 | 25 | |
| 7 | 10 | 1 | 2 | 2 | 1 | 4 | |
| 9 | 9 | 3 | 1 | 3 | 9 | 1 | |
| 3 | 7 | -3 | -1 | 3 | 9 | 1 | |
| 10 | 11 | 4 | 3 | 12 | 16 | 9 | |
| 計 | 30 | 40 | 0 | 0 | 45 | 60 | 40 |
| 平均 | 6 | 8 |
\(r_{xy}=\dfrac{45}{\sqrt{60}\sqrt{40}}=0.918\)
4. 中央値（メジアン）（レジメp5の類題）.
## [1] 1 2 2 4 4 5 5 5 6 6 7昇順に並べたデータの中央にあるのは太文字の５です。
1 2 2 4 4 5 5 5 6 6 7.
太文字の５を境界としてデータは、左半分と右半分に分かれます。左半分の中央にあるのは太文字の２.
1 2 2 4 4.
右半分の中央にあるのは太文字の6.
5 5 6 6 7.
結局、データを小さい順に並べて４等分したことになります。
四分位数
- 下から1/4のところのデータを第1四分位数（今の場合 2）、
- 2/4のところのデータを第2四分位数（これは中央値と同じで 5）、
- 3/4のところのデータを第3四分位数（今の場合 6）といいます。
- そして、第1四分位数、第2四分位数、第3四分位数をまとめて 四分位数といいます。
［注意］個数が偶数で中央の値がない場合は、境目の両隣を平均した値とします.
四分位範囲.
（第3四分位数－第1四分位数）の値のことを四分位範囲といい、中心付近のデータがどのくらい散らばっているかの目安として用います。
四分位偏差.
（第3四分位数－第1四分位数）÷2の値のことで、四分位範囲の半分。四分位範囲と同じく、中心付近のデータがどのくらい散らばっているかの目安として用います。
第１四分位数 \(Q_1=\)（ 2 ） 第２四分位数 \(Q_2=\)（ 5 ） 第３四分位数 \(Q_3=\)（ 6 ）
四分位範囲＝（ 6-2=4 ） 四分位偏差＝（ 2 ）.
5. 注意事項.
- 電卓は使用可能ですが、貸し借りはできません.
- スマホや携帯、パソコンは使用禁止です.
- スマホやパソコンの電卓機能も使用禁止です.
- 学習のまとめやプリントで、よく復習してください。
中間考査のポイントは「分散と相関係数の計算」です.
- 考査で “研究” の表記がある問題は、少し難しい問題です。
6. 研究（混合分布）.
(1) Aの平均と分散を計算しなさい。
## [1] 1 3 3 5
\(m=\dfrac{1+3+3+5}{4}=3\)
\(V=\dfrac{(1-3)^2+(3-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2}{4}=2\)
(2) Bの平均と分散を計算しなさい。
## [1] 3 3 6 6 6 6 9 9\(m=\dfrac{3+3+6+6+6+6+9+9}{8}=6\)
\(V=\dfrac{(-3)^2+(-3)^2+0^2+0^2+0^2+0^2+3^2+3^2}{8}=\dfrac{9}{2}\)
(3) A,Bを合わせたUの平均と分散を計算しなさい。
## [1] 1 3 3 5 3 3 6 6 6 6 9 9表を用いて計算するとよいです.
| Xの値 | 度数 | 階級値・度数 | 偏差 | 偏差平方・度数 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | -4 | 16 |
| 3 | 4 | 12 | -2 | 16 |
| 5 | 1 | 5 | 0 | 0 |
| 6 | 4 | 24 | 1 | 4 |
| 9 | 2 | 18 | 4 | 32 |
| Total | 12 | 60 | 68 |
平均 \(m=\dfrac{60}{12}=5\) 分散 \(V=\dfrac{68}{12}=\dfrac{17}{3}\)
混合分布のテーマは、
「2つの群が合わさると、平均や分散はどのようになるか。」
ということで、将来、重要なテーマとなります。例えば、
全国の医療データは、各都道府県のデータをもとに集計します。つまり、都道府県のデータを混合したものが全国データです。
混合すると平均や分散がどのようになるかを知っておくことは重要です。
上の例で、次の公式が成立していることを確かめます。
\(\mu=p_A~\mu_A+p_B~\mu_B\)
\(\sigma^2=p_A~\sigma_A^2+p_B~\sigma_B^2+p_Ap_B(\mu_A-\mu_B)^2\)
２群 \(U_A, U_B\) について、
\(U_A\) : \(n_A=4\)個 平均 \(\mu_A=3\) 標準偏差 \(\sigma_A=\sqrt{2}\)
\(U_B\) : \(n_B=8\)個 平均 \(\mu_B=6\) 標準偏差 \(\sigma_B=\sqrt{\dfrac{9}{2}}\)
\(U=U_A\cup U_B\) ：\(n=12\)個 平均 \(\mu\) 標準偏差 \(\sigma\) について、
混合率 \(p_A=\dfrac{n_A}{n}=\dfrac{4}{12}~,~~p_B=\dfrac{n_B}{n}=\dfrac{8}{12}~~~\)とすると、
\(p_A~\mu_A+p_B~\mu_B=\dfrac{4}{12}~3+\dfrac{8}{12}~6=\dfrac{60}{12}=5\)
\(p_A~\sigma_A^2+p_B~\sigma_B^2+p_Ap_B(\mu_A-\mu_B)^2=\dfrac{4}{12}\cdot 2+\dfrac{8}{12}\cdot \dfrac{9}{2}+\dfrac{4}{12}\cdot \dfrac{8}{12}\cdot 3^2=\dfrac{17}{3}\)
確かに成り立っています。ヒストグラムを表示すると、
\(\mu_A,~\mu_B\)
の差が大きいと、混合分布の分散は大きくなります。
つまり、２群 A,Bが離れていれば、混合分布の分散は大きくなります。