このページは、市原清志先生の「バイオサイエンスの統計学」の問題を、統計ソフト”R”で解説するものです。
詳細については、市原先生のテキスト（p72、P78）を参照ください。
数学的説明も補足してありますが、市原先生のテキストにない部分は飛ばしても結構です。
2標本t検定 (市原p72)
［基本］
２群の等分散性、正規性、独立性を前提とする。（等分散が仮定できなければ welch検定）
実際には、次の手順で行うことが多い。
\(X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)\:,\:X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\::i.i.d.\) は独立な２群を表す確率変数とする。
独立な２群の標本数を \(n_1,n_2\) 、母分散を \(\sigma_1^2,\sigma_2^2\) 、不偏分散を \(s_1^2,s_2^2\) とする。
(1) 等分散性の検定を行う。
＜帰無仮説＞ \(\sigma_1^2=\sigma_2^2\) のもとでは、 \(F=\dfrac{s_1^2}{s_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)\)
（市原p75によると、不偏分散の大きい方を分子とした片側検定である）
(2) ２群の平均に差があるかどうか t 検定を行う。
＜帰無仮説＞ ２群の平均に差はない
このとき、\(X_1\sim N(\mu_1,\sigma^2)\:,\:X_2\sim N(\mu_2,\sigma^2)\) 、ただし \(\sigma^2=\sigma_1^2=\sigma_2^2\)
\(\overline{X_1}\sim N\left(\mu_1,\dfrac{\sigma^2}{n_1}\right)\:,\:\overline{X_2}\sim N\left(\mu_2,\dfrac{\sigma^2}{n_2}\right)\) \(\overline{X_1}-\overline{X_2}\sim N\left(0\:,\:\dfrac{\sigma^2}{n_1}+\dfrac{\sigma^2}{n_2}\right)\)
２群をプールした偏差平方和は \(s_1^2(n_1-1)+s_2^2(n_2-1)\) 、自由度は \((n_1-1)+(n_2-1)=n_1+n_2-2\)
２群をプールした不偏分散は \(s^2=\dfrac{s_1^2(n_1-1)+s_2^2(n_2-1)}{n_1+n_2-2}\)
検定量 \(z=\dfrac{\overline{X_1}-\overline{X_2}}{\sigma\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}}\sim N(0\:,\:1)\) \(t=\dfrac{\overline{X_1}-\overline{X_2}}{s\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)\)
母分散は未知なので、自由度 \((n_1+n_2-2)\) の t検定を行う。（両側検定）
例3-1 (p78)
健常人5名（N群）とバセドウ病患者7名（B群）について、糖負荷検査の際の血糖上昇値に差があるかどうか検定する。
Normal <- c(54, 49, 42, 40, 35)
Basedow <- c(68, 65, 60, 56, 52, 47, 44)
箱ひげ図（boxplot）によって2群を比較すると、2群には差があるように見える。この差が有意かどうかRで調べる。
(1) 等分散性の検定を行う。
［R-code］
var.test(Basedow,Normal)
帰無仮説 「分散が等しい」のもとで、
F=(Basedowの不偏分散)/(Normalの不偏分散) は自由度(6,4)のF分布に従う。
Fの値が１から離れていれば、等分散の仮説は棄却される。
（市原p80では、大きい分散を分子にとり、F>1の状態で片側検定を行う）
［R-結果］
F test to compare two variances
data: Basedow and Normal
F = 1.4218, num df = 6, denom df = 4, p-value = 0.7646
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
0.1545918 8.8539578
sample estimates:
ratio of variances
1.421829
numはnumerator（分子）、denomはdenominator（分母）
分子の自由度が6、分母の自由度が4であり、F値=1.4218 は１に近いので分散が大きく異なるとは考えにくい。
F値が1.4218以上になる確率は 0.7646 で 0.05より大きいので、帰無仮説は棄却されない。従って、等分散と判断する。
［注意］
もし、var.test(Normal,Basedow) とすれば、分母と分子が逆に計算され、F値は１より小さくなるが、検定の結果は同じになる。
正規性については、市原p77「t分布の頑強性」にあるように、厳しく検定する必要はない。
（実用上、問題は起こらないということである）
(2) ２群の平均に差があるかどうか t 検定を行う。
等分散の仮説のもとで、不偏分散として2群をプールした分散 \(s^2\) を求め、
\(t=\dfrac{\overline{X_1}-\overline{X_2}}{s\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)\) の値が0から離れているかで検定を行う。
［R-code］
t.test(Normal, Basedow, paired=FALSE, alternative =“two.sided",var.equal=T)
“paired=FALSE” は対応のないt検定であることを表し、”two.sided" は両側検定を表す。
“var.equal=T” は等分散を仮定した検定であることを意味する。
［R-結果］
Two Sample t-test
data: Normal and Basedow
t = -2.4356, df = 10, p-value = 0.03511
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-22.977804 -1.022196
sample estimates:
mean of x mean of y
44 56
自由度は \((n_1+n_2-2)=5+7-2=10\) 、 t値=-2.4356 は0から離れた異常値と見える。
t 値が、この値かそれ以上に0から離れる確率は、p-value = 0.03511
この確率は基準とする0.05より小さく、t = -2.4356は異常値と考えられる。
よって、帰無仮説「２群の平均に差はない」は棄却され、
対立仮説（alternative hypothesis）「 平均の差が0ではない」を真と判断する。
例3-2 (p78)
等分散を仮定しない場合は、Welchの検定を行う。
これは、市原p73によれば、自由度を少し小さめに見積もることによる微調整と考えられる。
Rのコードで、”var.equal=F” とすればWelchの検定を行ってくれる。
［R-code］
t.test(Normal,Basedow, paired=FALSE, alternative =“two.sided", var.equal=F)
［R-結果］
Welch Two Sample t-test
data: Normal and Basedow
t = -2.5144, df = 9.6292, p-value = 0.0315
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-22.689424 -1.310576
sample estimates:
mean of x mean of y
44 56
Welchの検定によるt値の方が0から離れており、検出力が増していることがわかる。
［続く］