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赤のグラフは理論上の数値です。
速度 $v(t)=2t$ であるので、理論上の位置は $x(t)=t^2$ となります。
このように近似を用いた数値計算では誤差が生じます。

Ⅱ　バネと単振動

バネの伸びと力のあいだには、フックの法則が成立します。
バネが引く力は、バネの伸びに比例するというものです。
式で表すと、

　　　　　$f=-kx$　　　　　( $k$　はバネ定数）

運動の方程式は $f=ma$（ $a$ は加速度、 $m$ はおもりの質量）であるので

　　　　　$ma=-kx$

簡単のため、初期条件を　$m=1\:\:\rm[kg]\:,\:k=1\:\:\rm[N/m]$　とすると

　　　　　$a=-x$

加速度 $a$ 、おもりの位置 $x$ は時刻 $t$ の関数なので、$a=a(t)\:,\:x=x(t)$ とすると　

　　　　　$a(t)=-x(t)$

加速度 $a$ は位置 $x$ の２階微分であるので　$a(t)=\dfrac{d^2x}{dt^2}$

よって、微分方程式　 $\dfrac{d^2x}{dt^2}=-x(t)$　が成立します。

さて、バネを $0.1\rm \:[m]$ 伸ばして手を放すとします。

　　　　　$x(0)=0.1 \rm \:\:[m]$　、速度：$v(0)=0\:\:\rm[m/s]$

①速度、位置、加速度の順に各段に記入し位置計算をしました。

　　　　　 $a(t)=-x(t)$　の式を用いると、

　　　　　　　　　　 $x(0)=0.1$　なので 　$a(0)=-0.1$

　　　　　0.5秒間隔なので、

　　　　　　　　　　$v(0.5)=0+0.5\times (-0.1)=-0.5$

　　　　　　　　　　$x(0.5)=0.1+0.5\times (-0.5)=0.75$　　　　　$\therefore a(0.5)=-0.75$

（電卓を用いて、赤の計算結果を確かめましょう）

②計算した位置をプロットすると、

Ⅲ　コーヒーは冷めないうちに

コーヒーの冷める速さは、そのときのコーヒーと室温の温度差に比例します。

室温を２０℃、 $t$　分後のコーヒーの温度を $x(t)$　とするとき、　

　　　　　$\dfrac{dx}{dt}=-\alpha(x-20)$

比例定数 $\alpha=0.08$　、初めのコーヒーの温度を８０℃として、１０分後の温度を算出しましょう。

①コーヒーの温度、室温との差の順に各段に記入しましょう。

　　　　　 $x(1)=80-0.08\times 60=75.2$　　　室温との差は　$75.2-20=55.2$

（赤の計算結果を確かめましょう）

②計算した温度をプロットします。

理論上は $x=60e^{-0.08t}+20$ 　（ $t$ の単位は分のため、60倍がつく）　となります。

Ⅳ　マルサスの人口論

マルサス（1766～1834）はイギリスの経済学者です。「出生数と死亡数は人口の大きさに比例する」
「人口の増加は人口の大きさに比例する」という仮説のもとで、人口論を展開しました。

日本の人口の変化を数学的に予測しましょう。人口の増加率は現在の人口に比例します。

時刻 $t$ における人口を　$x(t)$ とすると　$\dfrac{dx}{dt}=\alpha x$

初期条件：１９２０年の人口　$x=5600$ （万人）　　　比例定数：$\alpha=0.0124$　とします。

$t$ を経過年として、初めの１０年間の人口を数値計算します。

　　　　　$x(0)=56$　、　　　$x(1)=56+0.0124\times 56=56.7$

（赤の計算結果を確かめましょう）

1940年代に実人口の停滞が見られるのは、第二次世界大戦が原因と考えられます。

理論式は 　$x(t)=56e^{0.0124t}$　　であり、計算予測とほぼ一致します。

Ⅴ　万有引力による惑星の軌道

太陽と惑星の間には、万有引力が働いています。

地球の重さを $m_e$ 、太陽の重さを $m_s$ 、距離を $r$ 、万有引力定数を $G=6.67259\times 10^{-11}\:[\rm N^2m^2/kg^2]$ として

　　　　　$F=\dfrac{Gm_em_s}{r^2}$

地球の位置を $(x,y)$ 、太陽の位置を $(0,0)$ とすると、 $\overrightarrow{F}=-\dfrac{Gm_em_s}{r^2}(x,y)\left. \right/ \sqrt{x^2+y^2}$

引力は成分ごとに計算すればよいので、　　$F_x=-\dfrac{Gm_em_s}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}x\:\:,\:\: F_y=-\dfrac{Gm_em_s}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}y$

$F_x=m_ea_x\:\:,\:\:F_y=m_ea_y$ 　なので、 　　$a_x=-\dfrac{Gm_s}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}x\:\:,\:\: a_y=-\dfrac{Gm_s}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}y$

地球の軌道は、２階微分方程式

　　　　　$\dfrac{d^2x}{dt^2}=-\dfrac{Gm_s}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}x\:\:,\:\: \dfrac{d^2y}{dt^2}=-\dfrac{Gm_s}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}y$　　　　で表されます。

数値計算法を用いて、地球の軌道を算出しましょう。

太陽と地球の距離を、149600000000メートルとします。

天文学では、$1.496\times 10^{11}$ メートル、エクセルでの表記は、$1.496\rm E+11$　となります。

初期条件として、

　　　　　地球の質量：$m_e=5.974\rm E+24\:[\rm kg]$　　　　　太陽の質量：$m_e=1.989\rm E+30\:[\rm kg]$　　　　

　　　　　地球の初期座標：$(x,y)=(1.496\rm E+11\:,\:\:\:0\: )$

　　　　　地球の初期速度：$(v_x\:,v_y)=(0\:,\:\:2.978\rm E+04)$

この条件のもとで、42日間の地球軌道を計算すると次の表のようになります。

（天文学的数値なので、電卓では計算しないでください）

原理を理解するため、簡略化した数値で試してみましょう。

　　　　　地球の質量 　　　　　$m_e=1\:\rm[kg]$

　　　　　太陽の質量 　　　　　$m_s=10000\:[\rm kg]$

　　　　　地球の初期座標 　　$x=10\:[\rm m]$　　　　　$y=0\:[\rm m]$

　　　　　地球の初期速度 　　$v_x=0\:[\rm m/s]$　　　$v_y=1\:[\rm m/s]$

　　　　　万有引力定数を 　　 $G=0.001\:[\rm N\cdot m^2/kg^2]$　　　とすると

　　　　　$a_x=-\dfrac{10}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}x \:\:,\:\: a_y=-\dfrac{10}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}y$

$t=0$ のとき $(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}=1000$

　　　　　$a_x=-\dfrac{10}{1000}10=-0.1$　　　　　$a_y=-\dfrac{10}{1000}\cdot0=0$

$t=1$ のとき

　　　　　$v_x=0+(-0.1)\times 1=-0.1$　　　$\therefore x=10+(-0.1)\times 1=9.9$

　　　　　$v_y=1+0\times 1=1$　　　　　　　$\therefore y=0+1\times 1=1$

　　　$(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}=(9.9^2+1^2)^\frac{3}{2}=985.087$ 　　より

　　　　　$a_x=-\dfrac{10}{985.087}\cdot 9.9=-0.1$　　　　　　$a_y=-\dfrac{10}{985.087}\cdot1=-0.01$

$t=2$ のとき

　　　　　$v_x=-0.1+(-0.1)\times 1=-0.2$　　　$\therefore x=9.9+(-0.2)\times 1=9.7$

　　　　　$v_y=1+(-0.01)\times 1=0.99$　　　　$\therefore y=1+0.99\times 1=1.99$

　　　$(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}=(9.7^2+1.99^2)^\frac{3}{2}=970.745$　より

　　　　　$a_x=-\dfrac{10}{970.745}\cdot 9.7=-0.10$　　　　　$a_y=-\dfrac{10}{970.745}\cdot1.99=-0.02$

次のような表が出来あがります。

電卓で計算するのさえ大変ですが、もしあなたがアポロ１３に乗船し全電源が停止していたなら、このような計算を手計算で行う必要があるでしょう。

エクセルのワークシートで続きを計算すると、地球の軌道は次の図のようになります。