（以下の文章は筆者の想像を含み、史実とは一部異なります）
ヘロンについての記録はあまり残っていません。
ヘロンの公式だけが2000年という時を超えて残っています。
ヘロンはいかにして面積の公式を発見したか、想像をまじえて考えてみましょう。
ヘロンはギリシャのヘロス島で生まれました。
当時のギリシャは直接民主制で学問が盛んでした。
ヘロンは中学校の入学祝いにコンパスと定規を買ってもらいました。
それはオリーブの木で作られた最新式のコンパスでした。
ヘロンはコンパスを使って作図するのが楽しくて仕方ありませんでした。
ヘロンの得意な作図法
・３辺の長さから三角形を作図
・線分の垂直２等分線
・角の２等分線
・点から直線に垂線を下ろす
これらの方法について各自で確認してください。
コンパスと定規、方眼紙も各自で用意してください。
直角三角形の重要性
三角形は最も基本的な図形です。なぜなら、どんな多角形も三角形に分解できるからです。
「三角形が分かれば、図形の全てがわかる」
三角形は直角三角形に分解できます。直角三角形はピタゴラスの定理により長さの分析が可能です。
「図形を直角三角形に分解する」
これらのことが、図形の理解において普遍的かつ本質的な方法と言えます。
（直角三角形への分解には、点から直線へ垂線を下ろす作図が必要になります）
ここからは、実際に作図をしながら考えてみましょう。
［注意］三角形ABCにおいて、a=BC 、b=CA 、c=AB
（BCを方眼の水平線上に描き、上下左右には十分な余白をとります）
課題１ 内接円の作図
(1) ３辺の長さが与えられたとき、コンパスで三角形を描くことができます。
a=5 、b=7 、c=6 として作図。
(2) 角の２等分線によって内心を作図することができます。
内接円を描き、内心 I から辺BC, CA, AB に下ろした垂線の足を D, E, F とする。
(3) 今回はそこに現れる直角三角形に注目するので、
内接円と辺の接点を黒くしっかり記入したら、内接円は消しゴムで消してください。
・直角三角形はいくつありますか？
・直角三角形の形は何種類ですか？
・直角三角形の辺で、長さが整数である辺の長さはどれだけですか？
［チャレンジ］
・直角三角形で整数の長さの辺は、三角形の辺の長さから求められますか？
・面積をS、内接円の半径をrとしたとき、S は rの何倍ですか？
課題２ 傍接円の作図
(1) 傍接円の中心は外角の２等分線の交点です。
課題１の図に外角の２等分線を用いて傍接円を作図しましょう。
（傍接円は３つありますが、辺BCに外側から接する円を描いてください）
(2) 今回はそこに現れる直角三角形に注目するので、頂点Aの向かい側にできる傍接円の半径をRa
半径Raの傍接円とBC, CA, AB との接点を K, L, M として記入し、傍接円は消してください。
・直角三角形はいくつありますか？（課題１とあわせた個数）
・直角三角形の形は何種類ですか？（課題１とあわせた種類）
・直角三角形の辺で、長さが整数である辺の長さはどれだけですか？（課題１とあわせて）
［チャレンジ］
・直角三角形で整数の長さの辺は、三角形の辺の長さから求められますか？
・面積をSとしたとき、S は Raの何倍ですか？
課題３ 傍接円の作図(2)
・CAを底辺として別の方眼紙に課題1,2と同様の作図をしましょう。
（CAを方眼の水平線上に描き、頂点Bの向かい側にできる傍接円の半径をRbとします）
・ABを底辺として別の方眼紙に課題1,2と同様の作図をしましょう。
（ABを方眼の水平線上に描き、頂点Cの向かい側にできる傍接円の半径をRcとします）
［チャレンジ］
・面積をSとしたとき、S は Rbの何倍ですか？
・面積をSとしたとき、S は Rcの何倍ですか？
課題４ 内接円と傍接円の半径
・r とRa にはどんな関係がありますか？（２つの関係式を見つけてください）
・関係式を連立させて r とRa を求め、面積 S を求めましょう。
これが筆者が想像するヘロンの方法です。
その本質は、相似を利用して r とRa の連立方程式に帰着させることにあります。
（追伸）
ヘロンは、エーゲ海を見下ろす高台で、オリーブの木陰のテーブルで海を眺めています。
傍接円を作図したときの、ヘロン少年はどんな気持ちだったでしょう。
傍接円の大きさに戸惑いながら、外へ向かって広がっていく世界に想いを馳せたことでしょう。
整理ができたら、次はヘロン少年の夢を追いましょう。
「三角形の面積を３辺の長さで表す公式はできないだろうか？」
このヘロンの夢については次回、考えてみましょう。