対数関数は回数関数
数学は言葉です。
言葉を記号で表すと難しく感じることがあります。
そこで、
記号を言葉に戻してみましょう。（記号を言葉に翻訳する）
例えば、
お金の世界は１０進法です。
10,100,1000,10000‥‥
\(\log_{10}100\) を言葉に翻訳すると、「100は10を何回かけるか、その回数」です。
\(\log_{10}100=\log_{10}10^2=2\) （100は10を2回かけたものです）
このように、かける回数を答えるのが対数関数です。
（筆者は回数関数と呼んでいます）
\(\log_{10}1000\) 「1000は10を何回かけるか、その回数」
\(\log_{10}1000=\log_{10}10^3=3\)
\(\log_{10}(100\times 1000)\) は、「 \(100\times 1000\) は10を何回かけるか、その回数」ですから
\(\log_{10}(100\times1000)=\log_{10}(10^2\times10^3)=\log_{10}10^5=5\)
教科書では公式を使って
\(\log_{10}(100\times1000)=\log_{10}10^2+\log_{10}10^3=2+3=5\) と計算しますが
公式なくても大丈夫と思えたら、本質に迫っていると思ってよいでしょう。
「10を２回かけたもの」と「10を3回かけたもの」をかければ、10を5回かけることになります。
このように、言葉で説明すれば分かることを、記号で書くと難しく感じてしまうのです。
10進法の世界では10を何回かけるか考え、この10を底といいます。
底が10の対数を常用対数といい、お金の世界ではこれで十分です。
数学の特徴は自由であることです。
底は10以外のものを使うこともできます。（10進法のほかに2進法があるように）
しかし、底を変えると混乱します。
なので、初めは底を10として考え、練習しましょう。
常用対数表
世の中１０の倍数ばかりではありません。
例えば、
２は10を何回かけたものでしょうか？
\log_{10}2 を翻訳すると、「2は10を何回かけるか、その回数」です。
何回かければいいでしょうか？ 調べてくれた人がいて、0.3010 回です。
\(2=10^{0.3010}\)
指数関数 \(y=10^x\) のグラフを知っている人は、
グラフの \(y=2\) となる点に対応する x が、 \(x=0.3010\) ということが分かるでしょう。
様々な数について、10を何回かけたものか表にしたものが常用対数表（回数表）です。
（1.00から9.99までの数について、10を何回かけたものか一覧表になっています）
表によれば、
\(2=10^{0.3010}\) \(3=10^{0.4771}\)
先人は、電卓に代わりに常用対数表を使って計算をしました。
\(2\times 3=10^{0.3010}\times 10^{0.4771}=10^{0.3010+0.4771}=10^{0.7781}\)
常用対数表で値が \(0.7781\) に近いところを探すと、\(.7782\) が見つかります。
\(\log_{10}6=0.7782\) 即ち、\(6=10^{0.7782}\) ですから
\(2\times 3\fallingdotseq 6\) （ほぼ等しいことが分かります）
（例）
表によれば、
\(2=10^{0.3010}\) \(5=10^{0.6990}\)
\(2\times 5=10^{0.3010}\times 10^{0.6990}=10^{0.3010+0.6990}=10^{1}\)
ちょうど10を１回かけたことになるので、 \(2\times 5=10\) となります。
常用対数表を用いた乗法
次ような想定で計算の練習をしましょう。
（想定）
・あなたは急に掛け算ができなくなりました。
・加法減法と、習ったばかりの対数表の使い方は分かります。
［例題］
\(3\times 5\) を計算しなさい（常用対数表を用いて）
（解答）
\(3=10^{0.4771}\) \(5=10^{0.6990}\)
\(3\times 5=10^{0.4771}\times 10^{0.6990}=10^{0.4771+0.6990}=10^{1.1761}=10^{1}\times
10^{0.1761}\)
常用対数表で値が \(0.1761\) に近いところを探すと、 \(.1761\) が見つかります。
\(\log_{10}1.50=0.1761\) 即ち、\(1.50=10^{0.1761}\) ですから
\(3\times 5=10^1\times1.50=15\) と計算されます。
（注意）
常用対数表では 0 以上１未満の数しかないので、整数と小数に分けて計算します。
（小数部分を仮数、整数部分を指標と呼んでいました）
整数部分は大きさのスケール（桁数）に影響します。
対数は天文学者の寿命を延ばしたといわれています。
金利の計算でも威力を発揮します。
１ヶ月の金利 0.13でお金を借りるとしましょう。
1000円借りれば、利息は１ヶ月で130円で、1.13倍の1130円の返済となります。
では、返すのを忘れて10年が経過したらどうでしょうか。（10年は120ヶ月）
［例題］
\(1.13^{120}\) を計算しなさい（常用対数表を用いて）
（解答）
\(\log_{10}1.13^{120}=120\log_{10}1.13=120\times 0.531=63.72\)
\(1.13^{120}=10^{63.72}=10^{63}\cdot 10^{0.72}\)
\(\log_{10}5.25=0.7202\) が一番近いので、 \(5.25\fallingdotseq10^{0.72}\)
よって、
\(1.13^{120}=5.25\times 10^{63}\)
大きすぎて見当もつきませんが、
\(1000\times (5.25\times 10^{63})=5.25\times 10^{66}\)
0が６６個並ぶ数字です。
１ヶ月 0.13 の金利がいかに高いかが分かります。
＜練習＞
1年の金利 0.13で1000円を借りると10年でいくらになるでしょうか？
\(\log_{10}1.13^{10}=10\log_{10}1.13=10\times 0.531=5.31\)
\(1.13^{10}=10^{5.31}=10^{5}\cdot 10^{0.31}\)
\(\log_{10}2.04=0.3096\) が一番近いので、 \(2.04\fallingdotseq10^{0.31}\)
よって、
\(1.13^{10}=2.04\times 10^{5}\)
\(1000\times (2.04\times 10^{5})=2.04\times 10^{8}\)
約2000万円、これでも高すぎますね。
（コラム）
利息制限法という法律があり、10万円未満なら年利20％、100万円未満なら年利18％、100万円以上なら年利15％が利息の上限として定められています。
これも、決して安いものではないことが分かります。
底10で考えると分かったことも、一般化すると分かりにくくなります。
まずは、対数表を電卓の代わりに使い、自信がついたら次の段階に進むとよいでしょう。