hyoccori-toukei

赤のグラフは理論上の数値です。
速度 \(v(t)=2t\) であるので、理論上の位置は \(x(t)=t^2\) となります。
このように近似を用いた数値計算では誤差が生じます。

Ⅱ　バネと単振動

バネの伸びと力のあいだには、フックの法則が成立します。
バネが引く力は、バネの伸びに比例するというものです。
式で表すと、

　　　　　\(f=-kx\)　　　　　( \(k\)　はバネ定数）

運動の方程式は \(f=ma\)（ \(a\) は加速度、 \(m\) はおもりの質量）であるので

　　　　　\(ma=-kx\)

簡単のため、初期条件を　\(m=1\:\:\rm[kg]\:,\:k=1\:\:\rm[N/m]\)　とすると

　　　　　\(a=-x\)

加速度 \(a\) 、おもりの位置 \(x\) は時刻 \(t\) の関数なので、\(a=a(t)\:,\:x=x(t)\) とすると　

　　　　　\(a(t)=-x(t)\)

加速度 \(a\) は位置 \(x\) の２階微分であるので　\(a(t)=\dfrac{d^2x}{dt^2}\)

よって、微分方程式　 \(\dfrac{d^2x}{dt^2}=-x(t)\)　が成立します。

さて、バネを \(0.1\rm \:[m]\) 伸ばして手を放すとします。

　　　　　\(x(0)=0.1 \rm \:\:[m]\)　、速度：\(v(0)=0\:\:\rm[m/s]\)

①速度、位置、加速度の順に各段に記入し位置計算をしました。

　　　　　 \(a(t)=-x(t)\)　の式を用いると、

　　　　　　　　　　 \(x(0)=0.1\)　なので 　\(a(0)=-0.1\)

　　　　　0.5秒間隔なので、

　　　　　　　　　　\(v(0.5)=0+0.5\times (-0.1)=-0.5\)

　　　　　　　　　　\(x(0.5)=0.1+0.5\times (-0.5)=0.75\)　　　　　\(\therefore a(0.5)=-0.75\)

（電卓を用いて、赤の計算結果を確かめましょう）

②計算した位置をプロットすると、

Ⅲ　コーヒーは冷めないうちに

コーヒーの冷める速さは、そのときのコーヒーと室温の温度差に比例します。

室温を２０℃、 \(t\)　分後のコーヒーの温度を \(x(t)\)　とするとき、　

　　　　　\(\dfrac{dx}{dt}=-\alpha(x-20)\)

比例定数 \(\alpha=0.08\)　、初めのコーヒーの温度を８０℃として、１０分後の温度を算出しましょう。

①コーヒーの温度、室温との差の順に各段に記入しましょう。

　　　　　 \(x(1)=80-0.08\times 60=75.2\)　　　室温との差は　\(75.2-20=55.2\)

（赤の計算結果を確かめましょう）

②計算した温度をプロットします。

理論上は \(x=60e^{-0.08t}+20\) 　（ \(t\) の単位は分のため、60倍がつく）　となります。

Ⅳ　マルサスの人口論

マルサス（1766～1834）はイギリスの経済学者です。「出生数と死亡数は人口の大きさに比例する」
「人口の増加は人口の大きさに比例する」という仮説のもとで、人口論を展開しました。

日本の人口の変化を数学的に予測しましょう。人口の増加率は現在の人口に比例します。

時刻 \(t\) における人口を　\(x(t)\) とすると　\(\dfrac{dx}{dt}=\alpha x\)

初期条件：１９２０年の人口　\(x=5600\) （万人）　　　比例定数：\(\alpha=0.0124\)　とします。

\(t\) を経過年として、初めの１０年間の人口を数値計算します。

　　　　　\(x(0)=56\)　、　　　\(x(1)=56+0.0124\times 56=56.7\)

（赤の計算結果を確かめましょう）

1940年代に実人口の停滞が見られるのは、第二次世界大戦が原因と考えられます。

理論式は 　\(x(t)=56e^{0.0124t}\)　　であり、計算予測とほぼ一致します。

Ⅴ　万有引力による惑星の軌道

太陽と惑星の間には、万有引力が働いています。

地球の重さを \(m_e\) 、太陽の重さを \(m_s\) 、距離を \(r\) 、万有引力定数を \(G=6.67259\times 10^{-11}\:[\rm N^2m^2/kg^2]\) として

　　　　　\(F=\dfrac{Gm_em_s}{r^2}\)

地球の位置を \((x,y)\) 、太陽の位置を \((0,0)\) とすると、 \(\overrightarrow{F}=-\dfrac{Gm_em_s}{r^2}(x,y)\left. \right/ \sqrt{x^2+y^2}\)

引力は成分ごとに計算すればよいので、　　\(F_x=-\dfrac{Gm_em_s}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}x\:\:,\:\:
F_y=-\dfrac{Gm_em_s}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}y\)

\(F_x=m_ea_x\:\:,\:\:F_y=m_ea_y\) 　なので、 　　\(a_x=-\dfrac{Gm_s}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}x\:\:,\:\:
a_y=-\dfrac{Gm_s}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}y\)

地球の軌道は、２階微分方程式

　　　　　\(\dfrac{d^2x}{dt^2}=-\dfrac{Gm_s}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}x\:\:,\:\:
\dfrac{d^2y}{dt^2}=-\dfrac{Gm_s}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}y\)　　　　で表されます。

数値計算法を用いて、地球の軌道を算出しましょう。

太陽と地球の距離を、149600000000メートルとします。

天文学では、\(1.496\times 10^{11}\) メートル、エクセルでの表記は、\(1.496\rm E+11\)　となります。

初期条件として、

　　　　　地球の質量：\(m_e=5.974\rm E+24\:[\rm kg]\)　　　　　太陽の質量：\(m_e=1.989\rm E+30\:[\rm kg]\)　　　　

　　　　　地球の初期座標：\((x,y)=(1.496\rm E+11\:,\:\:\:0\: )\)

　　　　　地球の初期速度：\((v_x\:,v_y)=(0\:,\:\:2.978\rm E+04)\)

この条件のもとで、42日間の地球軌道を計算すると次の表のようになります。

（天文学的数値なので、電卓では計算しないでください）

原理を理解するため、簡略化した数値で試してみましょう。

　　　　　地球の質量 　　　　　\(m_e=1\:\rm[kg]\)

　　　　　太陽の質量 　　　　　\(m_s=10000\:[\rm kg]\)

　　　　　地球の初期座標 　　\(x=10\:[\rm m]\)　　　　　\(y=0\:[\rm m]\)

　　　　　地球の初期速度 　　\(v_x=0\:[\rm m/s]\)　　　\(v_y=1\:[\rm m/s]\)

　　　　　万有引力定数を 　　 \(G=0.001\:[\rm N\cdot m^2/kg^2]\)　　　とすると

　　　　　\(a_x=-\dfrac{10}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}x
\:\:,\:\:
a_y=-\dfrac{10}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}y\)

\(t=0\) のとき \((x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}=1000\)

　　　　　\(a_x=-\dfrac{10}{1000}10=-0.1\)　　　　　\(a_y=-\dfrac{10}{1000}\cdot0=0\)

\(t=1\) のとき

　　　　　\(v_x=0+(-0.1)\times 1=-0.1\)　　　\(\therefore x=10+(-0.1)\times 1=9.9\)

　　　　　\(v_y=1+0\times 1=1\)　　　　　　　\(\therefore y=0+1\times 1=1\)

　　　\((x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}=(9.9^2+1^2)^\frac{3}{2}=985.087\) 　　より

　　　　　\(a_x=-\dfrac{10}{985.087}\cdot 9.9=-0.1\)　　　　　　\(a_y=-\dfrac{10}{985.087}\cdot1=-0.01\)

\(t=2\) のとき

　　　　　\(v_x=-0.1+(-0.1)\times 1=-0.2\)　　　\(\therefore x=9.9+(-0.2)\times 1=9.7\)

　　　　　\(v_y=1+(-0.01)\times 1=0.99\)　　　　\(\therefore y=1+0.99\times 1=1.99\)

　　　\((x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}=(9.7^2+1.99^2)^\frac{3}{2}=970.745\)　より

　　　　　\(a_x=-\dfrac{10}{970.745}\cdot 9.7=-0.10\)　　　　　\(a_y=-\dfrac{10}{970.745}\cdot1.99=-0.02\)

次のような表が出来あがります。

電卓で計算するのさえ大変ですが、もしあなたがアポロ１３に乗船し全電源が停止していたなら、このような計算を手計算で行う必要があるでしょう。

エクセルのワークシートで続きを計算すると、地球の軌道は次の図のようになります。