１変数の記述統計

＜度数分布＞

女子中学生100人の血清コレステロール値
113 184 137 169
156 171 161 129
150 138 158 157
123 218 134 166
184 157 193 220
174 200 162 168
145 133 221 213
202 152 169 155
233 145 189 147
163 173 187 143
138 199 146 144
163 141 209 172
158 161 160 169
127 191 145 201
145 161 154 170
167 184 171 175
184 144 165 177
195 171 151 177
133 161 208 163
143 147 189 159
134 171 140 171
175 144 155 176
230 176 151 161
149 166 130 175
187 159 156 176

このデータをもとに度数分布表、ヒストグラム、累積相対度数の折れ線グラフを作成すると次のようになります。

度数分布表

階級 頻度 累積 %
100〜119 1 1%
120〜139 11 12%
140〜159 30 42%
160〜179 35 77%
180〜199 12 89%
200〜219 7 96%
220〜239 4 100%


頻度のグラフは、このような山の形になるのが特徴です。

このような山の形をデータの分布といい、データの特徴を表しています。
データの特徴を見るにはヒストグラムが良いのですが、数値でデータの様子を表現することも可能です。
そのような値を代表値と言います。

＜代表値＞

平均

n個のデータ の平均は、
     \(~~~~~~~\displaystyle m= \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\dfrac{\sum_i x_i}{n}\)　　（値をたして個数で割ったもの）
記号 \(\Sigma\) は、たしあわせるという意味で、シグマとよむ。
（練習）
\(x_1=5~,~x_2=3~,~x_3=-4~,~x_4=2~,~x_5=-2\)
\(f_1=1~,~f_2=2~,~f_3=3~,~f_4=2~,~f_5=1\)　　のとき、次の各式の値を求めよ。
\(~~~(1)~~\displaystyle \sum_{i=1}^5 f_i=f_1+f_2+f_3+f_4+f_5=1+2+3+2+1=9\)

\(~~~(2)~~\displaystyle \sum_{i=1}^5 x_if_i=x_1f_1+x_2f_2+x_3f_3+x_4f_4+x_5f_5 =5\cdot1+3\cdot2+(-4)\cdot3+2\cdot2+(-2)\cdot1=\)
\(\begin{split}~~(3)~~ \displaystyle \sum_{i=1}^5 (x_i-3)^2f_i&=(x_1-3)^2f_1+(x_2-3)^2f_2+(x_3-3)^2f_3+(x_4-3)^2f_4+(x_5-3)^2f_5\\ &= 5\cdot1+3\cdot2+(-4)\cdot3+2\cdot2+(-2)\cdot1=\\ &
\end{split}\)

３小学校の小学生の１日の歩行量

人数 平均値（歩）
Ａ小学校 70 18830
Ｂ小学校 106 20010
Ｃ小学校 37 15960

３校の生徒の歩行量を求めるのに、

\( ~~~~~~~m= \dfrac{18830+20010+15960}{3}\)
としてよいだろうか。
平均値を単純に平均したのでは人数の違いが考慮されないことになる。
正しい平均は、全体の合計を全体の人数で割るべきであるので、
\( ~~~~~~~m= \dfrac{18830\times 70+20010\times 106+15960\times 37}{213}\)

とするべきであろう。このような平均を重みづけ平均（加重平均）という。

平均給与
ある会社の給与を調べると次のようになった。

給与 人数
4350000 １人
580000 １人
380000 ２人
210000 ２人
190000 ３人
140000 ３人
110000 ３人
80000 １１人

給与の平均を求めよ。


平均が実態を最もよく表しているとは限らない。平均の他によく使われる代表値としては次のようなものがある。

メジアン
中央値 Me（メジアン）とは、変量を大きさの順に並べたとき、中央の順位にくるものの値である。

「平均給与」の例ではメジアンは、どれだけか。


モード
最頻値 Mo（モード）とは、変量のうち度数が最大のものをいう。

「平均給与」の例ではモードは、どれだけか。


＜散布度＞

データの散らばり具合を分布という。データの散らばりの程度を表す数値として「分散」や「標準偏差」があるが、ここでは身近な例を通してその意味を理解してもらうことにしよう。

データの比較
データを比較するとき、平均や分散が有効である。

　　エンコする自動車（買い当たりのいい人・悪い人）

Ａ社とＢ社の自動車各１００台について、１０年間の故障回数を調査したところ次のようになった。

Ａ社 Ｂ社
回数x 度数f x・f 回数x 度数f x・f
0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0
2 0 0 2 2 4
3 0 0 3 2 6
4 0 0 4 2 8
5 0 0 5 6 30
6 0 0 6 8 48
7 3 21 7 11 77
8 13 104 8 8 64
9 28 252 9 12 108
10 42 420 10 10 100
11 9 99 11 11 121
12 4 48 12 6 72
13 1 13 13 5 65
14 0 0 14 4 56
957 15 2 30
16 2 32
17 2 34
18 2 36
19 1 19
20 2 40
21 2 42
992

・Ａ社の平均Ma、Ｂ社の平均Mbを求めよ。
　平均から判断すると、Ａ社、Ｂ社どちらの車を買えばよいか。


・それぞれのヒストグラムを描くと、

ヒストグラムから判断すると、Ａ社、Ｂ社どちらの車を買えばよいか。 

分散と標準偏差

データ \(x_1,~x_2,~\cdots ,~x_n\) とその平均mに対し、
\(~~~~~~~V=\dfrac{\sum _i(x_i-m)^2}{n}~~~~~~~\)（平均とのずれをたして個数で割ったもの） を分散という。分散は、データの散らばりの程度を表す。

を分散という。分散は、データの散らばりの程度を表す。

\(~~~~~~~s=\sqrt{V}\)

を標準偏差という。

* Ａ社、Ｂ社について分散 、  及び標準偏差 、 をそれぞれ求めよ。




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