2019 統計数理 (統計検定1級 統計数理 過去問の解説です)
① 確率母関数
2019統計数理① 確率母関数
[定義]
・現代数理統計学の基礎( 久保川達也)(p20)によれば、
確率変数 \(X:p(k)=P(X=k)\) 、\(|s|\leq 1\) に対し
\(\displaystyle G_X(s)=E(s^X)=\sum_{k=0}^\infty s^kp(k)\) を確率母関数という。
・準1級ワーク2章(p9)によれば、
確率母関数(Probability Generating Function)
離散 \(\begin{align}
G_X(t) = E(t^X) = \sum t^xp(x)
\end{align}\)
離散 \(\begin{align}
G_X(t) =E(t^X) = \int_{-\infty}^{\infty} t^xf(x) dx
\end{align}\)
(久保川は、無限級数の収束を保証するために定義域を制限していると思われる)
(1) 期待値と微分の順序交換が可能ならば、
\(G_X'(t) =E(X\cdot t^{X-1}) \) 、 \(G_X^{(2)}(t) =E\left(X(X-1)\cdot t^{X-2}\right) \)
\(G_X'(1)=E(X)\) 、 \(G_X^{(2)}(1)=E\left(X(X-1)\right)\)
故に、 \(E(X)=G_X'(1)\)
\(\begin{split}
V(X)&=E(X^2)-E(X)^2=E\left(X(X-1)\right)+E(X)-E(X)^2\\
&=G_X^{(2)}(1)+G_X'(1)-G_X'(1)^2
\end{split}\)
(2)
\(X\sim B(n,~p)\) より、 \(P(X=k) = {}_nC_{k}p^k(1-p)^{n-k}\)
\(\displaystyle G_X(t) =\sum_{k}t^k {}_nC_{k}p^k(1-p)^{n-k}
= \sum_{k} {}_nC_{k}(tp)^k(1-p)^{n-k}
= (tp + 1 - p)^n\)
\(G'_X(t) = np(tp + 1 - p)^{n-1}
~,~~G''_X(t)= n(n-1)p^2(tp + 1 - p)^{n-2}
\) より
\(E(X)=G_X'(1)=np\)
\(\begin{split}
V(X)&=G_X^{(2)}(1)+G_X'(1)-G_X'(1)^2\\
&=n(n-1)p^2+np-n^2p^2\\
&=np\left((n-1)p+1-np\right)=np(1-p)
\end{split}\)
ここまでは基本の問題である。
(3)(4)は誘導に従って解く。
続く
(2019に受験した際は、この問題が完答できたので合格できたとように思う)