ベータ関数とガンマ関数は大学教養で登場します。
よく見ると受験数学でも学んでいることが分かります。
両者を統合し、頭の中で整理しておくとよいでしょう。
ガンマ関数
ガンマ関数は階乗の一般化である。
［定義］
\(\Gamma \left( x\right) =\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{x-1}dt=2\int _{0}^{\infty }e^{-r^2} r^{2x-1}dr\) （ 置換 \(t=r^{2}\) ）
［性質］
\(\Gamma \left( 1\right) =\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=1\) \(\Gamma \left( \dfrac{1}{2}\right) =2\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}dr=\sqrt{\pi}\)
\(\Gamma \left( s+1\right) =s\Gamma \left( s\right) \)
ベータ関数
［定義］
\(B\left( x,y\right) =\int ^{1}_{0}t^{x-1}\left( 1-t\right) ^{y-1}dt
=2\int ^{\frac{\pi }{2}}_{0}\sin ^{2x-1}\theta\ \cos^{2y-1}\theta d\theta \) （ 置換 \(t=\sin^2\theta\) ）
［性質］
\(B\left( \frac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right) =2\int ^{\frac{\pi }{2}}_{0}d\theta =\pi \) \(B\left( x,y\right) =\dfrac{\Gamma \left( x\right) \Gamma ( y) }{\Gamma \left( x+y\right) }\)
∵ \(\Gamma(x)\Gamma(y) =2\int ^{\infty }_{0}e^{-u^{2}}u^{2x-1}du\times
2\int _{0}^{\infty }e^{-v^{2}}v^{2y-1}dv=
4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(u^2+v^2)}u^{2x-1}v^{2y-1}dudv\)
\(\left( u,v\right) =\left(r \cos \theta ,r\sin \theta \right) \) によって置換すると、
\(\Gamma \left( x\right) \Gamma ( y) =2\int ^{\infty }_{0}e^{-r^{2}}r^{2(x+y)-1}dr\times
2\int ^{\frac{\pi }{2}}_{0}\sin ^{2x-1}\theta\ \cos^{2y-1}\theta d\theta
=\Gamma(x+y)\ B(x,y)\)
\(x=y=\frac{1}{2}\) とすれば、 \(\Gamma \left( \dfrac{1}{2}\right) \Gamma \left( \dfrac{1}{2}\right) =\Gamma \left( 1\right)\cdot B\left( \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right) =1\cdot \pi \)
よって、 \(\Gamma \left( \dfrac{1}{2}\right) =\sqrt{\pi }\) より、 \(\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}dr=\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}\) （ガウス積分）が得られる。
［更新日］