検定には、正規性を前提としたパラメトリック検定と正規性を前提としないノンパラメトリック検定がある。
ウィルコクスン検定は代表的なノンパラメトリック検定であるが、ウィルコクスンの名がつく検定が複数存在する。
・Wilcoxonの順位和検定（rank sum test）
・符号順位検定 （signed rank test）
これらの理論は数列の和によって説明される。
独立２群の差の検定 Wilcoxonの順位和検定（rank sum test）
比較したい２標本の観測値に全体順位（Rank）をつけて、標本ごとの合計（順位和）を算出。
観測値に同一順位がある場合は、順位の平均値をつける。
標本 \(A,B\) の順位和を \(R_A,R_B\) とすると、統計量は
\(W = min \left( R_{A},\ R_{B} \right)\) （wilcoxon rank sum test）
［基本］
n 個から１個選んだものの順位をRとすると、Rは一様分布に従う確率変数で、
\(P(R=i)=\dfrac{1}{n}\) \(\displaystyle E(R)=\sum_{i=1}^n i\cdot \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n+1}{2}\)
\(\displaystyle E(R^2)=\sum_{i=1}^n i^2\cdot \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6}\)
\(\therefore V(R)=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6}-\left(\dfrac{n+1}{2}\right)^2=\dfrac{(n+1)(n-1)}{12}\)
これらを用いて、Wilcoxon順位和検定の統計量について具体的に計算する。
２群を \(X_1=\left(x_{11},\cdots,x_{1n_1}\right)\:\:,\:\:
X_2=\left(x_{21},\cdots,x_{2n_2}\right)\) とする。
\((n_1+n_2)\) 個の中での順位を \(R\) とすると、 \(R\) は一様離散分布に従い、
\(E(R)=\dfrac{n_1+n_2+1}{2}\:\:,\:\:V(R)=\dfrac{(n_1+n_2)^2-1}{12}\)
\(X_1\:,\:X_2\) の要素の順位を、 \(R_{X_1}=\left(R_{11},\cdots,R_{1n_1}\right)\:\:,\:\:
R_{X_2}=\left(R_{21},\cdots,R_{2n_2}\right)\) とすると、
これらは順位 \(1,\cdots ,(n_1+n_2)\) からの \(n_1,n_2\) 個の標本である。（独立ではない）
\(X_1\:,\:X_2\) の順位和を、 \(\displaystyle W_1=\sum_{i=1}^{n_1} R_{1i}\:\:,\:\:W_2=\sum_{i=1}^{n_2} R_{2i}\) とすると期待値は、
\(\displaystyle E(W_1)=\sum_{i=1}^{n_1} E(R_{1i})=\dfrac{n_1(n_1+n_2+1)}{2}\:\:,\:\:E(W_2)=\sum_{i=1}^{n_2} E(R_{2i})=\dfrac{n_2(n_1+n_2+1)}{2}\)
次に分散であるが、順位は独立ではないことに注意して計算する。
［基本］
一般に \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) が独立でないとき、
\(Cov(X_i,X_j)=E(X_i\cdot X_j)-E(X_i)E(X_j)\:\:\:\:\:\:\:\:(i\neq j)\)
\(\begin{split}
V\left(\sum_i X_i\right)&=E\left(\left(\sum_i (X_i-\mu_i)\right)^2\right)
=\sum_iE\left((X_i-\mu_i)^2\right)+\sum_{i\neq j} E\left((X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)\right)\\
&=\sum_i V(X_i)+2\sum_{i< j}Cov(X_i,X_j)
\end{split}
\)
\(X_i\) が n 個の中での順位を表す確率変数とすると、一様分布に従うから
\(V(X_i)=\dfrac{(n+1)(n-1)}{12}\)
\(\displaystyle \sum_{i\neq j} ij=\left(\sum_i i\right) \left(\sum_j j\right)-\sum_i i^2=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}-\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
=\dfrac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{12}\) より、
\(\begin{split}
E(X_i\cdot X_j)&=\sum_{i,j}ij\cdot p(i,j)=\sum_{i\neq j}ij\cdot p(i,j)+\sum_{i=j}ij\cdot p(i,j)\\
&=\sum_{i\neq j}ij\cdot \dfrac{1}{n(n-1)}+\sum_{i=j}ij\cdot 0=\sum_{i\neq j}ij\cdot \dfrac{1}{n(n-1)}\\
&=\dfrac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{12}\cdot \dfrac{1}{n(n-1)}\\
&=\dfrac{(n+1)(3n+2)}{12}
\end{split}\)
故に、\(Cov(X_i,X_j)=E(X_i\cdot X_j)-E(X_i)E(X_j)=\dfrac{(n+1)(3n+2)}{12}-\left(\dfrac{n+1}{2}\right)\left(\dfrac{n+1}{2}\right)=-\dfrac{n+1}{12}\)
２群 \(X_1=\left(x_{11},\cdots,x_{1n_1}\right)\:\:,\:\:
X_2=\left(x_{21},\cdots,x_{2n_2}\right)\) の問題に戻る。
これらの基本公式を用いて、 \(W_1\:\:,\:\:W_2\) の分散を計算する。
\(X_1\:,\:X_2\) の要素の \(n=n_1+n_2\) 個の中での順位が、
\(R_{X_1}=\left(R_{11},\cdots,R_{1n_1}\right)\:\:,\:\:
R_{X_2}=\left(R_{21},\cdots,R_{2n_2}\right)\) 、\(\displaystyle W_1=\sum_{i=1}^{n_1}
R_{1i}\:\:,\:\:W_2=\sum_{i=1}^{n_2} R_{2i}\) だから、
\(\begin{split}
V(W_1)&=V\left(\sum_{i=1}^{n_1} R_{1i}\right)=\sum_{i=1}^{n_1} V(R_{1i})+2\sum_{i< j}^{n_1}Cov(R_{1i},R_{1j})\\
&=n_1\cdot \dfrac{(n+1)(n-1)}{12}+2\left(-\dfrac{n+1}{12}\right)\cdot \dfrac{n_1(n_1-1)}{2}\\
&=\dfrac{n_1(n+1)}{12}\left[n-1-(n_1-1)\right]=\dfrac{n_1(n+1)}{12}(n-n_1)=\dfrac{n_1n_2(n+1)}{12}
\end{split}\)
故に、 \(V(W_1)=V(W_2)=\dfrac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12}\)
期待値と分散が、 \(E(W_i)=\dfrac{n_i(n_1+n_2+1)}{2}\:\:,\:\:V(W_i)=\dfrac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12}\) と分かったので、
大標本のときはZ検定を行う。（各群の標本数の一方が20以上のとき。詳細は、市原p90参照）
\(z = \dfrac{W_i-E[ W_i] }{\sqrt{Var [ W_i] }}\)
つまり、一様分布からの標本和を正規近似するのが順位和検定（rank sum test）と言える。
［注意１］
大標本でない場合は、組み合わせ計算に基づいた「EXACT検定」を用いる。
［参考サイト］データ科学便覧 様 「Rによるウィルコクソンの順位和検定」
https://data-science.gr.jp/implementation/ist_r_wilcoxon_rank_sum_test.html
stats パッケージにも本検定を実行するための wilcox.test() が搭載されているが、この関数はデータにタイが存在したときに正確な値を返さないため、wilcox.exact() を使った方が良い。
［参考サイト］感性・官能評価システム J-SEMS 様 「ウィルコクソンの順位和検定」
https://j-sems.com/ウィルコクソンの順位和検定/
ウィルコクソンの順位和検定は、\(m\) 個のAと \(n\) 個のBをあわせて順位をつけたとき、AとBの2組の順位付けに差があるかどうかを検定したいときに用いる。
Aの数が \(m\) 個あるとき、Ａにつけることのできる順位の組み合わせは \( {}_{m+n} C_n \) 通り。ここで、Ａの順位和を
\(T\) とすると、Ａの様々な組み合わせに応じて \(T\) の確率分布を求めることができる。このようにして、Aの数 \(m\) と、Bの数
\(n\) が与えられたときに、順位和 \(T\) の分布を計算し、「AとBの分布の中心位置に差がない」という帰無仮説を検定する。実際の検定には検定表を用いる。
［注意２］
Wilcoxonの順位和検定は、「マン・ホイットニーU検定」と同等であり、検定量Uは両群で
U=\(\displaystyle \sum_i\) (\(x_i\) より大きい他方の群のデータ数 ) を考え、値の小さい方を選ぶ。(市原p90)
\(W_1\leq W_2\) の場合は \(W = min \left( W_1,W_2\right)=W_1\) だから、 \(U=W_1-\dfrac{n_1( n_{1}+1) }{2}\) となる。
［理由］
そもそも順位は (自分より大きいものの個数+1)。
\(X_1\) の中での順位を \(r_{X_1}\) 、 \(X_2\) の中での順位を \(r_{X_2}\) 、A,Bあわせた中での順位を \(r\) とすると、
\(X_1\) の中で自分より大きいものの個数 \(u_{X_1}=r_{X_1}-1\)
\(X_2\) の中で自分より大きいものの個数 \(u_{X_2}\)
A,B あわせた中で自分より大きいものの個数は \(r_{X_1}-1+u_{X_2}\)
故に、A,B あわせた中での順位は、\(r=r_{X_1}+u_{X_2}\)
\(\displaystyle W_1=\sum_{X_1} (r_{X_1}+u_{X_2})=\sum_{X_1} r_{X_1}+\sum_{X_1}u_{X_2}=
\dfrac{n_{1}\left( n_{1}+1\right) }{2}+U\) \(\therefore U=W_1-\dfrac{n_{1}\left(
n_{1}+1\right) }{2}\)
\(E(U)=E\left(W_1-\dfrac{n_{1}\left( n_{1}+1\right) }{2}\right)
=\dfrac{n_1(n_1+n_2+1)}{2}-\dfrac{n_{1}(n_{1}+1)}{2}
=\dfrac{n_{1} n_{2}}{2}\)
\(V(U)=V\left(W_1-\dfrac{n_1(n_1+1) }{2}\right)=V\left(W_1\right)
=\dfrac{n_{1}n_{2}( n_1+n_2+1) }{12}\)
定義は \(U = min \left( W_{1}-\dfrac{n_{1}\left( n_{1}+1\right) }{2} ,\quad W_{2}-\dfrac{n_{2}\left( n_{2}+1\right) }{2} \right)\) と定めるが、期待値と分散は
\(E[ U] =\dfrac{n_{1} n_{2}}{2}\:\:,\:\:V(U)=\dfrac{n_{1}n_{2}( n_1+n_2+1) }{12}\) となる。
もし、同一順位が存在する場合は次の補正した分散を用いる。
\(V(U)=\dfrac{n_{1}n_{2}\left( n_{1}+n_{2}+1\right) }{12} - \dfrac{n_{1}n_{2}}{12\left( n_{1}+n_{2}\right) \left( n_{1}+n_{2}-1\right) } \sum \left( t^{3}_{i}-t_{i}\right)\) （ \(t_i\) は同一値の個数）
補正項の説明はここでは立ち入らない。
杉本典夫 様 http://www.snap-tck.com/room04/c01/stat/stat03/stat0302_1.html 参照
大標本の場合は、\(Z = \dfrac{U-E[ U] }{\sqrt{Var [ U] }}\) によるZ検定をおこなう。
Mann-WhitneyのU検定と同等なので、Wilcoxon-Mann-Whitney検定(WMW)と言われている。
［参考サイト］
こちにいるの日記 様 「Wilcoxonの順位和検定とマンホイットニーのU検定」
https://cochineal19.hatenablog.com/entry/2020/12/15/235131
東北大学 三村敬司 様
http://www.pref.aomori.lg.jp/soshiki/kenko/hoken/files/20130901.pdf
マン・ホイットニーU検定量は個数が少ないほうをX、多いほうをY とした場合、
U=(Xデータ数)(Yデータ数)+ {(Xデータ数)(Xデータ数+1)/2}- (X群順位合計)
Wilcoxonには、関連２群（signed rank test）、独立２群（rank sum test）がある。
混乱を避けるため、市原「バイオサイエンスの統計学」では、
・ 関連2群はWilcoxon（signed rank test） 検定表p359、
・ 独立２群はMann-Whitney（U test ） 検定表p360
を用いている。
［その他の参考サイト］
https://indenkun.hatenablog.com/entry/2020/03/16/000300
https://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/stat/signtest.html
関連２群の差の検定 Wilcoxonの符号順位検定 （signed-rank test）
杉本典夫 様 「1標本の計数値」
http://www.snap-tck.com/room04/c01/stat/stat03/stat0302_1.html
有意に無意味な話 様 「ウィルコクソンの符号順位統計量の平均・分散」
https://starpentagon.net/analytics/wilcoxon_signed_rank_mean_var/
［基本］
（検定量）T＝(pairedの差を絶対値の昇順に並べたとき、片方の符号の順位の合計)
帰無仮説のもとで、 期待値 ：\(E(T)=\dfrac{n(n+1)}{4}\) 分散 ：\(V(T)=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{24}\) である。
［説明］
n 個の対象の2回の測定値を \(X_1=\left(x_{11},\cdots,x_{1n}\right)\:\:,\:\:
X_2=\left(x_{21},\cdots,x_{2n}\right)\) とし、
2回と1回の測定値の差を \(z_i=x_{2i}-x_{1i}\:\:\:(i=1,2,\dots,n)\) とする。
\(z_i\) の中央値はθで、対称な分布を持ち互いに独立とする。
また、 \(|z_i|\ne 0\) を仮定する。
［対立仮説］ １回目より２回目が大きくなっている。
［帰無仮説］ １回目と２回目で差はない。 （ \(\theta=0\) ）
ノンパラメトリックにするため、 \(z_i\) を絶対値の順位に置き換えたものを \(R_i\) とし
\(z_i\) の符号を識別する関数を \(I^+(z_i)=\begin{cases}1\ (z_i>0) \\ 0\ (z_i\leq 0)\end{cases}\) \(I^-(z_i)=\begin{cases}-1\ (z_i<0) \\ \:\:\:0\ (z_i\geq 0)\end{cases}\) とすると、
\(T^+=\displaystyle\sum_{i=1}^n I^+(z_i)\cdot R_i\:\:,\:\:T^-=\displaystyle\sum_{i=1}^n I^-(z_i)\cdot R_i\)
帰無仮説のもとで、符号付き順位 \(I(z)\cdot R\) の分布について、
\(I^+(z)\sim Ber(0.5)\:\:,\:\:I^-(z)\sim Ber(0.5)\) で、Rは一様分布に従う確率変数であり、前述の通り
\(P(R=i)=\dfrac{1}{n}\) \(\displaystyle E(R)=\sum_{i=1}^n i\cdot \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n+1}{2}\)
\(\displaystyle E(R^2)=\sum_{i=1}^n i^2\cdot \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6}\)
\( V(R)=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6}-\left(\dfrac{n+1}{2}\right)^2=\dfrac{(n+1)(n-1)}{12}\) を確認しておく。
\(I^+(z)\:,\: R\) は独立だから、
\(E(I^+(z)\cdot R)=E(I^+(z))\cdot E( R)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{n+1}{2}= \dfrac{n+1}{4}\)
\(E(I^+(z)^2\cdot R^2)=E(I^+(z)^2)\cdot E( R^2)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6}= \dfrac{(n+1)(2n+1)}{12}\)
\(V(I^+(z)\cdot R)=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{12}-\left(\dfrac{n+1}{4}\right)^2=\dfrac{(n+1)(5n+1)}{48}\)
これらをもとに、\(T^+=\displaystyle\sum I^+(z_i)\cdot R_i\) の期待値・分散を求める。
期待値は、
\(\displaystyle E(T^+)=E\left(\sum_{i=1}^n I^+(z_i)\cdot R_i\right)=n\cdot \dfrac{n+1}{4}=\dfrac{n(n+1)}{4}\)
分散を求めるには、まず共分散を求める。
\(E\left(I^+(z_i)R_i\:\cdot\:I^+(z_j)R_j\right)=E\left(I^+(z_i)\right)E\left(I^+(z_j)\right)E\left(R_iR_j\right)
=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{(n+1)(3n+2)}{12}=\dfrac{(n+1)(3n+2)}{48}\)
\(Cov\left(I^+(z_i)\cdot R_i\:,\:I^+(z_j)\cdot R_j\right)=\dfrac{(n+1)(3n+2)}{48}-\left(\dfrac{n+1}{4}\right)^2=-\dfrac{n+1}{48}\)
よって、
\(\begin{split}
V(T^+)&=V\left(\sum_{i=1}^n I^+(z_i)\cdot R_i\right)=\sum_{i=1}^{n} V(I^+(z_i)\cdot R_i)+2\sum_{i< j}^{n}Cov\left(I^+(z_i)
\cdot R_i\:,\:I^+(z_j)\cdot R_j\right)\\
&=\dfrac{n(n+1)(5n+1)}{48}+2\dfrac{n(n-1)}{2}\left(-\dfrac{n+1}{48}\right)\\
&=\dfrac{n(n+1)}{48}\left(5n+1-(n-1)\right)=\dfrac{n(n+1)}{48}(4n+2)\\
&=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{24}
\end{split}\)
期待値と分散が、\(E(T^+)=\dfrac{n(n+1)}{4}\:\:,\:\:V(T^+)=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{24}\) と分かったので、
大標本のときはZ検定ができる。
符号検定
\(r=\sum_i I^+(z_i)\) は\(z_i\) の正の符号の個数を表す。
\(I^+(z_i)\sim Ber\left(\dfrac{1}{2}\right)\) ：ベルヌーイ分布 、\(r\sim B\left(n\:,\:\dfrac{1}{2}\right)\) ：二項分布
を利用するのが符号検定である。
\(E(r)=\dfrac{n}{2}\:\:,\:\:V(r)=\dfrac{n}{4}\) であるので、n が大きいときはZ検定を行う。