考査１_解説
考査のポイント.
分散の重要性.
標準偏差 sd は 分散の平方根です.
- 平均±２(標準偏差)の範囲にデータの95%が収まり.
- 平均±３(標準偏差)の範囲にデータの99%が収まります.
つまり、 (m,sd)=(平均,標準偏差)
が分かれば、データの全体像が分かります。
このことを理解するには R を使ったシミュレーションが有効です.
Google Colabo でシミュレーションしてみましょう.
Google Colabo
で検索すると、「ノートブックを開く」という画面になりますが、一旦キャンセルをクリックします.
ランタイムから「ランタイムのタイプを変更」をクリックし、Rに変更します.
＋コードをクリックするとコード入力欄が現れます.
「3章 分散」に関連した内容を練習しましょう.
rnorm(個数,平均,標準偏差)
rnorm(10, 5, 2)=rnorm(個数,平均,標準偏差) は平均5,標準偏差2の正規乱数を10個出力します
rnorm(10, 5, 2) ## [1] 7.74458141 5.62049151 4.10310214 3.59392814 6.12964842 4.26348075
## [7] 7.80396140 5.43027139 0.01147158 8.51882563個数を100個に増やし、hist関数でヒストグラムを描きます.
var(a)で分散を計算します
a <- rnorm(100, 5, 2)
hist(a)
var(a)## [1] 2.652318- 平均や標準偏差を変えてみましょう.
- 個数を1000個に増やしてみましょう.
個数が増えれば、分散は理論値４に近くなります。
混合分布.
混合分布について考えましょう。
A：平均３、標準偏差１の正規乱数３０個.
B：平均５、標準偏差１の正規乱数３０個.
Google Colab にコピー・ペーストして実行してみましょう。
A <- rnorm(60,3,1)#平均3,標準偏差1,個数30の乱数
B <- rnorm(30,5,1)#平均5,標準偏差1,個数30の乱数
U <- c(A,B)#A,B合わせた混合分布
par(mfrow=c(3,1))
hist(A,prob=T,breaks=c(seq(-0.35,13.5,by=0.5)),col="#ff00ff40",ylim=c(0,1))
hist(B,prob=T,breaks=c(seq(-0.35,13.5,by=0.5)),col="#0000ff40",ylim=c(0,1))
hist(U,prob=T,breaks=c(seq(-0.35,13.5,by=0.5)),col="grey88",ylim=c(0,1))
- A群の個数を60個にしてみよう.
- A群の標準偏差を２にしてみよう.
Google Colab にコピー・ペーストして実行してみよう。
A <- rnorm(60,3,2)#平均3,標準偏差1,個数30の乱数
B <- rnorm(30,5,1)#平均5,標準偏差1,個数30の乱数
U <- c(A,B)#A,B合わせた混合分布
par(mfrow=c(3,1))
hist(A,prob=T,breaks=c(seq(-5.5,13.5,by=0.5)),col="#ff00ff40",ylim=c(0,1))
hist(B,prob=T,breaks=c(seq(-5.5,13.5,by=0.5)),col="#0000ff40",ylim=c(0,1))
hist(U,prob=T,breaks=c(seq(-5.5,13.5,by=0.5)),col="grey88",ylim=c(0,1))
まとめ.
統計学の第一の目的は、母集団全体の分布を把握することです.
実際の調査は各県ごとに行われ、それらを合わせた混合分布が母集団ということになります。
データを適切に理解するには、
各群の分布と混合分布の分布がどのような関係になるかを理解しておくことが必要になります。
考査解答.
1. 次の各問について平均と分散を計算しなさい。
(1) x=2,-2.
\(m=\dfrac{2+(-2)}{2}=0\) \(V=\dfrac{(2-0)^2+(-2-0)^2}{2}=4\)
(2) x=2,6.
\(m=\dfrac{2+6}{2}=4\) \(V=\dfrac{(2-4)^2+(6-4)^2}{2}=4\)
(3) x=1,3,5.
\(m=\dfrac{1+3+5}{3}=3\) \(V=\dfrac{(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2}{3}=\dfrac{8}{3}\)
(4) x=2,6,6,10.
\(m=\dfrac{2+6+6+10}{4}=6\) \(V=\dfrac{(2-6)^2+(6-6)^2+(6-6)^2+(10-6)^2}{4}=8\)
2. 表を利用して、平均と分散を計算しなさい。
(1)
| 階級値 | 度数 | 階級値・度数 | 偏差 | 偏差平方・度数 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | -2 | 4 |
| 2 | 2 | 4 | -1 | 2 |
| 3 | 4 | 12 | 0 | 0 |
| 4 | 2 | 8 | 1 | 2 |
| 5 | 1 | 5 | 2 | 4 |
| Total | 10 | 30 | 12 |
平均 \(m=\dfrac{30}{10}=3\) 分散 \(V=\dfrac{1200}{10}=1.2\)
(2)
| 階級値 | 度数 | 階級値・度数 | 偏差 | 偏差平方・度数 |
|---|---|---|---|---|
| 30 | 2 | 60 | -25 | 1250 |
| 40 | 4 | 160 | -15 | 900 |
| 50 | 14 | 700 | -5 | 350 |
| 60 | 12 | 720 | 5 | 300 |
| 70 | 8 | 560 | 15 | 1800 |
| Total | 40 | 2200 | 4600 |
平均 \(m=\dfrac{2200}{40}=55\) 分散 \(V=\dfrac{4600}{40}=115\)
3.
\(A=\{1,2,2,4,4,5,5,5,6,6,7\}\) について、第１四分位数、第２四分位数、第3四分位数を求めなさい。また、四分位範囲、四分位偏差 を求めなさい。
第１四分位数 \(Q_1=\)（ 2 ） 第２四分位数 \(Q_2=\)（ 5 ） 第３四分位数 \(Q_3=\)（ 6 ）
四分位範囲＝（ 6-2=4 ） 四分位偏差＝（ 2 ）.
4. 次の各問に答えなさい.
(1) \(A=\{1 ,-1\}\)について、平均と分散を計算しなさい。
\(m=\dfrac{1+(-1)}{2}=0\) \(V=\dfrac{(1-0)^2+(-1-0)^2}{2}=1\)
(2) \(B=\{1,3,1,3,1,3\}\)について、平均と分散を計算しなさい。
\(m=\dfrac{(1+3)\times3}{6}=2\) \(V=\dfrac{((1-2)^2+(3-2)^2)\times 3}{6}=1\)
個数が３倍になっても、平均と分散は変わらないことが分かる。
(3) 研究問題.
A,Bを合わせた8個のデータ\(U=\{1 ,-1,1,3,1,3,1,3\}\)について、平均と分散を計算しなさい。
| Xの値 | 度数 | 階級値・度数 | 偏差 | 偏差平方・度数 |
|---|---|---|---|---|
| -1 | 1 | -1 | -2.5 | 6.25 |
| 1 | 4 | 4 | -0.5 | 1 |
| 3 | 3 | 9 | 1.5 | 6.75 |
| Total | 8 | 12 | 14 |
平均 \(m=\dfrac{12}{8}=1.5\) 分散 \(V=\dfrac{14}{8}=\dfrac{7}{4}=1.75\)
５. 次の各問に答えなさい.
(1) \(A=\{1,3,3,5\}\)について、平均と分散を計算しなさい。
\(m=\dfrac{1+3+3+5}{4}=3\) \(V=\dfrac{(1-3)^2+(3-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2}{4}=2\)
(2) \(B=\{3,3,6,6,6,6,9,9\}\)について、平均と分散を計算しなさい。
\(m=\dfrac{3\cdot 2+6\cdot 4+9\cdot 2}{8}=6\) \(V=\dfrac{(3-6)^2\cdot 2+(6-6)^2\cdot 4+(9-6)^2\cdot 2}{8}=\dfrac{36}{8}=\dfrac{9}{2}=4.5\)
(3) 研究問題.
A,Bを合わせた12個のデータ\(U=\{1,3,3,5,3,3,6,6,6,6,9,9\}\)について、平均と分散を計算しなさい。
| Xの値 | 度数 | 階級値・度数 | 偏差 | 偏差平方・度数 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | -4 | 16 |
| 3 | 4 | 12 | -2 | 16 |
| 5 | 1 | 5 | 0 | 0 |
| 6 | 4 | 24 | 1 | 4 |
| 9 | 2 | 18 | 4 | 32 |
| Total | 12 | 60 | 68 |
平均 \(m=\dfrac{60}{12}=5\) 分散 \(V=\dfrac{68}{12}=\dfrac{17}{3}\)
研究「混合分布の平均・分散」.
２群 \(U_A, U_B\) について、
\(U_A\) : \(n_A\)個 平均 \(\mu_A\) 標準偏差 \(\sigma_A\)
\(U_B\) : \(n_B\)個 平均 \(\mu_B\) 標準偏差 \(\sigma_B\)
\(U=U_A\cup U_B\) ：\(n\)個 平均 \(\mu\) 標準偏差 \(\sigma\) について、
混合率 \(p_A=\dfrac{n_A}{n}~,~~p_B=\dfrac{n_B}{n}~~~\)とすると、
\(\mu=p_A~\mu_A+p_B~\mu_B\)
\(\sigma^2=p_A~\sigma_A^2+p_B~\sigma_B^2+p_Ap_B(\mu_A-\mu_B)^2\).
今、
\(n_A=4,~~n_B=8,~~n=12\) より、\(p_A=\dfrac{1}{3},~~p_B=\dfrac{2}{3}\).
\(p_A~\mu_A+p_B~\mu_B=\dfrac{1}{3}\cdot 3+\dfrac{2}{3}\cdot 6=5\)
\(p_A~\sigma_A^2+p_B~\sigma_B^2+p_Ap_B(\mu_A-\mu_B)^2\\=\dfrac{1}{3}\cdot 2+\dfrac{2}{3}\cdot 4.5+\dfrac{2}{9}\cdot (3-6)^2=\dfrac{17}{3}\).
混合分布については、2つのグループの差を統計的に判断する方法として、将来、分散分析の中で学ぶことになります。
ヒストグラムは次の図のようになる。
